Matematic? M1, Varianta 3, BAC 2010

Scris de Cristina Vu?can   
Sâmbătă, 26 Februarie 2011 16:48
PDF Imprimare Email

Subiectul I
1. S? se ordoneze cresc?tor numerele  sqrt {2}, root{3}{4}, root {4}{5}.
Rezolvare: Pentru a compara numerele date, le vom scrie astfel:
 sqrt {2}= root {12}{2^6}= root {12}{64};
 root {3}{4}= root {12}{4^4}= root {12}{256};
 root {4}{5}= root {12}{5^3}= root {12}{125}.
Avem
 root {12}{64}< root {12}{125}< root {12}{256}
sau
 sqrt {2}< root {4}{5}< root {3}{4}.


2. S? se determine valoarea minim? a func?iei f: bbR right bbR, f(x)=4x^2-8x+1.
Rezolvare: Valoarea minim? a func?iei f este
m_{f}= -{Delta}/{4a}= -{b^2-4ac}/{4a}=
= -{(-8)^2-4 {cdot} 4 {cdot} 1}/{4 {cdot} 4}= -{64-16}/{16}= -3.
Deci, m_{f}=-3.


3. S? se rezolve n mul?imea numerelor reale ecua?ia  lg {(x-1)} + lg {(6x-5)} = 2.
Rezolvare: Punem condi?iile de existen?? a logaritmilor:
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1>0} {6x-5>0}}}{}{doubleleftright}
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x in (1; ~ {+infty})} {x in (5/6; ~ {+infty})}}}{}{doubleleftright}
 x in (1; ~ {+infty}) inter (5/6; ~ {+infty})=(1; ~ {+infty}).
Prin urmare, domeniul de existen?? a solu?iilor ecua?iei este D=(1; ~ {+infty}).
Atunci
 lg {(x-1)} + lg {(6x-5)} = 2{doubleleftright}
 lg {(x-1)(6x-5)} = lg {10^2}{doubleleftright}
(x-1)(6x-5)=10^2{doubleleftright}
6x^2-11x+5=100{doubleleftright}
6x^2-11x-95=0.
Avem
 {Delta}=b^2-4ac=
=(-11)^2-4 {cdot} 6 {cdot} (-95)=121+2280=2401
?i
x_{1}={-b+ sqrt {Delta}}/{2a}, x_{2}= {-b- sqrt {Delta}}/{2a}
x_{1}= {11+ sqrt {2401}}/{12}, x_{2}= {11- sqrt {2401}}/{12}
x_{1}= {11+49}/{12}, x_{2}= {11-49}/{12}
x_{1}=5 in D, x_{2}= - 19/6 notin D.
Prin urmare, solu?ia ecua?iei date este x=5.


4. S? se determine probabilitatea ca, alegnd un num?r din mul?imea numerelor naturale de dou? cifre, acesta s? fie p?trat perfect.
Rezolvare: S? not?m cu A evenimentul
A: Alegnd un num?r din mul?imea numerelor naturale de dou? cifre, num?rul ales este p?trat perfect.
Atunci
P(A)= {nr. ~ cazurilor ~ favorabile}/{nr. ~ cazurilor ~ posibile}.
Exist? 6 p?trate perfecte de dou? cifre: 16; 25; 36; 49; 64 ?i 81. Avem  (99-9=)90 de cazuri posibile (cte numere naturale de dou? cifre sunt). Prin urmare
P(A)=6/90=1/15.


5. S? se determine ecua?ia dreptei care trece prin punctul A(6;4) ?i este perpendicular? pe dreapta d: 2x-3y+1=0.
Rezolvare: Ecua?ia dreptei d este echivalent? cu
y=2/3 x+1/3.
Prin urmare, panta dreptei d este
m=2/3.
Panta m a dreptei d care trece prin punctul A ?i este perpendicular? pe dreapta d verific? rela?ia
m {cdot} m'=-1
?i prin urmare este
m'=-3/2.
Ecua?ia dreptei d este atunci
 y-y_{A}=m'(x-x_{A}){doubleleftright}
y-4= - 3/2(x-6){doubleleftright}
2y-8=-3x+18{doubleleftright}
3x+2y-26=0.
Deci, dreapta d care trece prin punctul A ?i este perpendicular? pe dreapta d este
 d': 3x+2y-26=0.


6. ?tiind c?  sin {alpha}=1/3, s? se calculeze  cos {2 alpha}.
Rezolvare:  cos {2 alpha}=1- 2 sin ^2 {alpha}=
=1-2 {cdot} (1/3)^2=1-2 {cdot} 1/9=7/9.

Subiectul II
1. Se consider? matricea A = (matrix{3}{3}{0 1 1 1 0 1 1 1 0}).
a) S? se verifice egalitatea A^{2}-A=2I_{3}.
b) S? se calculeze A^{-1}.
c) S? se arate c? A^{2009}+A^{2008}=2^{2008}(A+I_{3}).
Rezolvare:
a) Avem:
A^{2}=A {cdot} A=
= (matrix{3}{3}{0 1 1 1 0 1 1 1 0}) {cdot} (matrix{3}{3}{0 1 1 1 0 1 1 1 0})=
=(matrix{3}{3}{{0{cdot}0+1{cdot}1+1{cdot}1} {0{cdot}1+1{cdot}0+1{cdot}1} {0{cdot}1+1{cdot}1+1{cdot}0} {1{cdot}0+0{cdot}1+1{cdot}1} {1{cdot}1+0{cdot}0+1{cdot}1} {1{cdot}1+0{cdot}1+1{cdot}0} {1{cdot}0+1{cdot}1+0{cdot}1} {1{cdot}1+1{cdot}0+0{cdot}1} {1{cdot}1+1{cdot}1+0{cdot}0}})=
=(matrix{3}{3}{2 1 1 1 2 1 1 1 2}).
Atunci
A^{2}-A=(matrix{3}{3}{2 1 1 1 2 1 1 1 2})-(matrix{3}{3}{0 1 1 1 0 1 1 1 0})=
=(matrix{3}{3}{{2-0} {1-1} {1-1} {1-1} {2-0} {1-1} {1-1} {1-1} {2-0}})=
=(matrix{3}{3}{2 0 0 0 2 0 0 0 2})=
=2 {cdot} (matrix{3}{3}{1 0 0 0 1 0 0 0 1})=2I_{3}, c.c.t.d.
b) La pct. a) s-a demonstrat c?
A^{2}-A=2I_{3}{doubleleftright}
A(A-I_{3})=2I_{3}{doubleleftright}
A[1/2 (A-I_{3})]=I_{3}.
Analog rezult? ?i rela?ia
[1/2 (A-I_{3})]A=I_{3}.
Prin urmare
A^{-1}=1/2 (A-I_{3})=
=1/2 {cdot} (matrix{3}{3}{{0-1} {1-0} {1-0} {1-0} {0-1} {1-0} {1-0} {1-0} {0-1}})=
=1/2 {cdot} (matrix{3}{3}{{-1} 1 1 1 {-1} 1 1 1 {-1}}).
c) Vom demonstra c? pentru orice num?r natural nenul n, are loc
A^{n+1}+A^{n}=2^{n}(A+I_{3}).
Fie predicatul unar P, dat de P(n): A^{n+1}+A^{n}=2^{n}(A+I_{3}), n in bbN^{star}.
Vom demonstra prin induc?ie matematic? dup? n c? P(n) este o propozi?ie adev?rat? oricare ar fi n num?r natural nenul.
I. P(1): A^{2}+A=2(A+I_{3}).
Conform pct. a), avem
A^{2}-A=2I_{3} delim{|}{~}{}+2A{doubleleftright}
A^{2}-A+2A=2I_{3}+2A{doubleleftright}
A^{2}+A=2(A+I_{3}).
A?adar, propozi?ia P(1) este adev?rat?.
II.  P(n) {doubleright} P(n+1), n in bbN^{star}{doubleleftright}
A^{n+1}+A^{n}=2^{n}(A+I_{3}) {doubleright} A^{n+2}+A^{n+1}=2^{n+1}(A+I_{3}), n in bbN^{star}.
?tim c?
A^{n+1}+A^{n}=2^{n}(A+I_{3}), n in bbN^{star};
nmul?ind la stnga ambii membri ai acestei egalit??i cu A, ob?inem
A(A^{n+1}+A^{n})=A[2^{n}(A+I_{3})]{doubleleftright}
A(A^{n+1}+A^{n})=2^{n}[A(A+I_{3})]{doubleleftright}
A^{n+2}+A^{n+1}=2^{n}(A^{2}+A){doubleleftright} (dac? ne folosim de pasul I)
A^{n+2}+A^{n+1}=2^{n} {cdot} 2(A+I_{3}){doubleleftright}
A^{n+2}+A^{n+1}=2^{n+1}(A+I_{3}).
Prin urmare, P(n) {doubleright} P(n+1), n in bbN^{star}.
Din I ?i II, aplicnd principiul induc?iei matematice, rezult? c? propozi?ia P(n) este adev?rat? pentru orice num?r natural nenul, adic?
A^{n+1}+A^{n}=2^{n}(A+I_{3}), forall n in bbN^{star},
de unde pentru n=2008 se ob?ine egalitatea care trebuia demonstrat?:
A^{2009}+A^{2008}=2^{2008}(A+I_{3}).


2. Se consider? c? (bbZ, {star}, {circ}) este un inel comutativ, unde
x {star} y=x+y-3
?i
x {circ} y=xy-3x-3y+12, forall x, y in bbZ.
a) S? se arate c? elementul neutru al legii de compozi?ie  {circ} este 4.
b) S? se determine a, b in bbZ astfel nct ntre inelele (bbZ, {star} , {circ}) ?i (bbZ,+, {cdot}) s? existe un izomorfism de forma f: bbZ right bbZ, f(x)=ax+b.
c) S? se rezolve n mul?imea  bbZ ecua?ia {x{circ}x{circ}...{circ}x}under{de ~ 2009 ~ ori}=2^{2009}+3.
Rezolvare: a) Num?rul 4 in bbZ este element neutru al legii de compozi?ie  {circ} dac? ?i numai dac?
4 {circ} x=x {circ} 4=x, forall x in bbZ{doubleleftright}
4x-3{cdot}4-3x+12=x {cdot} 4-3x-3{cdot}4+12=x, forall x in bbZ{doubleleftright}
x=x, forall x in bbZ, (A).
Deci, num?rul ntreg 4 este element neutru pentru legea de compozi?ie  {circ} .
b) Func?ia f: bbZ right bbZ, f(x)=ax+b este un izomorfism ntre inelele (bbZ, {star}, {circ}) ?i (bbZ,+, {cdot}) dac? ?i numai dac?:
a {} 0 (adic? f este bijectiv?)
?i
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{F(x{star}y)=f(x)+f(y), forall x, y in bbZ} {f(x {circ} y)=f(x) {cdot} f(y), forall x, y in bbZ}}}{}.
Atunci
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{F(x{star}y)=f(x)+f(y), forall x, y in bbZ} {f(x {circ} y)=f(x) {cdot} f(y), forall x, y in bbZ}}}{}{doubleleftright}
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x+y-3)=(ax+b)+(ay+b), forall x, y in bbZ} {f(xy-3x-3y+12)=(ax+b) {cdot} (ay+b), forall x, y in bbZ}}}{}{doubleleftright}
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a(x+y-3)+b=a(x+y)+2b, forall x, y in bbZ} {a(xy-3x-3y+12)+b=a^{2}xy+ab(x+y)+b^{2}, forall x, y in bbZ}}}{}{doubleleftright}
 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{3a+b=0, forall x, y in bbZ} {xy(a^{2}-a)+x(ab+3a)+y(ab+3a)+b^{2}-b-12a=0, forall x, y in bbZ}}}{}{doubleleftright}
 delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{3a+b=0} {a^{2}-a=0} {ab+3a=0} {b^{2}-b-12a=0}}}{}{doubleleftright}
a=b=0 sau a=1, b=-3 in bbZ.
Dar cum a {} 0, rezult? c? pentru a=1, b=-3 exist? un izomorfism ntre cele dou? inele, dat de legea f(x)=x-3, forall x in bbZ.
c) Ecua?ia
{x {circ} x {circ} ... {circ} x}under{de ~ 2009 ~ ori}=2^{2009}+3
este echivalent?, dac? ?inem seama c? f este un izomorfism de inele, cu:
f({x {circ} x {circ} ... {circ} x}under{de ~ 2009 ~ ori})=f(2^{2009}+3){doubleleftright}
{f(x){cdot}f(x){cdot} ... {cdot} f(x)}under{de ~ 2009 ~ ori})=f(2^{2009}+3){doubleleftright}
[f(x)]^{2009}=2^{2009}+3-3{doubleleftright}
(x-3)^{2009}=2^{2009}{doubleleftright}
x-3=2{doubleleftright}
x=5 in bbZ.

Subiectul III
1. Se consider? func?ia f:(0; ~ {+infty}) right bbR, f(x)=18x^{2}- ln {x}.
a) S? se determine intervalele de monotonie ale func?iei f.
b) S? se determine a in bbR pentru care f(x) {>=} a, forall x in (0; ~ {+infty}).
c) S? se determine num?rul de r?d?cini reale ale ecua?iei f(x)=m, unde m este un parametru real.
Rezolvare:
a) Func?ia f este derivabil? pe (0; ~ {+infty}) ?i
 f'(x)=18 {cdot} 2 {cdot} x- 1/x=36x- 1/x={36x^{2}-1}/x, forall x in (0; ~ {+infty}).
Avem
I. f'(x)<0, forall x in (0;1/6);
II. f'(x)>0, forall x in (1/6; ~ {+infty});
III. f'(1/6)=0.
Prin urmare, func?ia f este strict descresc?toare pe intervalul  (0;1/6) ?i strict cresc?toare pe intervalul  (1/6; ~ {+infty}).
b) n plus, avem:
 lim {x right 0, x>0}{f(x)}= lim {x right 0, x>0}{(18x^{2}- ln {x})}= {+infty};
iar
(*)  lim {x right infty}{f(x)}= lim {x right infty}{(18x^{2}- ln {x})}= lim {x right infty}{x^{2}(18-{ln {x}}/x^{2})}.
Aplicnd teorema lui lHopital, ob?inem:
 lim {x right infty}{{ln {x}}/x^{2}}= lim {x right infty}{{1/x}/{2x}}= lim {x right infty}{1/{2x^{2}}}=0.
Cu aceasta, revenind la calculul limitei (*), ob?inem
 lim {x right infty}{f(x)}= {+infty} {cdot} (18-0)= {+infty}.
Rezumnd cele de mai sus, rezult? c?
f(x) {>=} f(1/6), forall x in (0; ~ {+infty}).
ntruct
f(1/6)=18 {cdot} (1/6)^{2}- ln {1/6}=1/2+ ln {6}={2 ln {6}+1}/2
rezult? c? pentru orice a {=} a, forall x in (0; ~ {+infty}).
Deci, a in ({-infty}; ~ {2 ln {6}+1}/2].

Tabloul de varia?ie al func?iei f este:

{tabular{0100}{0100000}{{~} {0} {~} {1/6} {~} {+infty} {f'(x)} {delim{|}{~}{}} {-} {0} {+} {~} {f(x)} {delim{|}{+infty}{}} {searrow} {{2 ln {6}+1}/2} {nearrow} {+infty}}}




c) Analiznd tabloul de varia?ie al func?iei f, rezult? c?:
I. Pentru m<{2 ln {6}+1}/2 ecua?ia f(x)=m nu are solu?ii reale;
II. Pentru m={2 ln {6}+1}/2 ecua?ia f(x)=m are o solu?ie dubl?, pe x=1/6;
III. Pentru m>{2 ln {6}+1}/2 ecua?ia f(x)=m are dou? solu?ii reale.


2. Se consider? func?iile f_{a}: bbR right bbR, f_{a}(x)=1/{delim{|}{x-a}{|}+3}, unde a in bbR.
a) S? se arate c? pentru orice a in bbR, func?ia f_{a} are primitive strict cresc?toare pe  bbR.
b) S? se calculeze  int {0}{3}{f_{2}(x)}{dx}.
c) S? se calculeze  lim {a right infty}{int {0}{3}{f_{a}(x)}{dx}}.
Rezolvare:
a) Pentru orice  a in bbR, func?ia f_{a} este continu? pe  bbR, ca func?ie care se ob?ine n urma unor opera?ii cu func?ii elementare, cum ar fi compunerea, adunarea sau raportul a dou? func?ii. Prin urmare, aceast? func?ie admite primitive pe  bbR. ntruct func?ia f_{a} este strict pozitiv? pe  bbR, toate primitivele acestei func?ii sunt strict cresc?toare pe  bbR.
b) Avem:
 int {0}{3}{f_{2}(x)}{dx}=
= int {0}{3}{1/{delim{|}{x-2}{|}+3}}{dx}=
= int {0}{2}{1/{delim{|}{x-2}{|}+3}}{dx}+ int {2}{3}{1/{delim{|}{x-2}{|}+3}}{dx}=
= int {0}{2}{1/{2-x+3}}{dx}+ int {2}{3}{1/{x-2+3}}{dx}=
= int {0}{2}{1/{-x+5}}{dx}+ int {2}{3}{1/{x+1}}{dx}=
=[- ln {(-x+5)}] delim{|}{{{~}under{0}}over{2}}{} + [ln {(x+1)}] delim{|}{{{~}under{2}}over{3}}{}=
=(- ln {3}+ ln {5})+(ln {4}- ln {3})=-2 ln {3}+ ln {5}+ ln {4}=- ln {9}+ ln {20}= ln {20/9}.
c) n cazul acestei limite, putem evident presupune c? a>3. Atunci avem:
 int {0}{3}{f_{a}(x)}{dx}=
= int {0}{3}{1/{delim{|}{x-a}{|}+3}}{dx}=
= int {0}{3}{1/{a-x+3}}{dx}=
= int {0}{3}{1/{-x+a+3}}{dx}=
=[- ln {(-x+a+3)}] delim{|}{{{~}under{0}}over{3}}{}=
=- ln {a}+ ln {(a+3)}= ln {({a+3}/a)}.
A?adar
 lim {a right infty}{int {0}{3}{f_{a}(x)}{dx}=
= lim {a right infty}{ln {({a+3}/a)}}=
= lim {a right infty}{ln {(1+3/a)}}= ln {1}=0.

Ultima actualizare ( Luni, 04 Aprilie 2011 18:58 )