Pagina principală

Matematică, M1, varianta 4, BAC 2010

Meniu principal

Grădiniţă

Şcoala primară

Gimnaziu

Liceu

Autentificare

Matematică, M1, varianta 4, BAC 2010

Scris de Cristina Vuşcan

Miercuri, 09 Martie 2011 11:03

Subiectul I
1. Să se arate că numărul (1/(1-i)-1/(1+i))^2 este real.
Rezolvare: Avem
(1/(1-i)-1/(1+i))^2=[((1+i)-(1-i))/((1-i)(1+i))]^2=
=((2i)/(1^2-i^2))^2=((2i)/(1+1))^2=
$=((2i)/2)^2=i^2=-1 {in} {bbR}$ .

2. Să se arate că vârful parabolei y=x^2+5x+1 este situat în cadranul III.
Rezolvare: Vârful V al parabolei are coordonatele
$x_V=-b/(2a); ~ y_V=-{Delta}/(4a)$
adică
$x_V=-5/(2{cdot}1); ~ y_V=-(b^2-4ac)/(4a)$
sau
$x_V=-5/2; ~ y_V=-(5^2-4{cdot}1{cdot}1)/(4{cdot}1)$ .
Prin urmare vârful V al parabolei are coordonatele
x_V=-5/2 < 0; ~ y_V=-21/4 < 0
şi deci este situat în cadranul III.

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0$ .
Rezolvare: Avem
$9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0 {doubleleftright}$
$(3^2)^x-10{cdot}(3^x)/3+1=0{doubleleftright}$
$(3^x)^2-10/3{cdot}3^x+1=0 ~ |{cdot}3{doubleleftright}$
$3{cdot}(3^x)^2-10{cdot}3^x+3=0$ .
Notăm 3^x=t iar ecuaţia de mai sus devine atunci
3t^2-10t+3=0 .
Atunci
${Delta}'=(b/2)^2-ac=(-5)^2-3{cdot}3=16$
iar
$t_1=(~-b/2-{sqrt{Delta}})/a$ ; $t_2=(~-b/2+{sqrt{Delta}})/a$
adică
$t_1=(5-{sqrt{16}})/3$ ; $t_2=(5+{sqrt{16}})/3$
sau
t_1=1/3 > 0 ; t_2=3 > 0 .
Pentru a găsi soluţiile ecuaţiei date vom rezolva ecuaţiile
3^x=1/3 şi 3^x=3 .
Aceste soluţii sunt -1 şi respectiv 1. Prin urmare, mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei date este
S={lbrace}-1;1{rbrace} .

4. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre acesta să aibă exact două cifre egale.
Rezolvare: Notăm cu A evenimentul
A: alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, numărul ales are exact două cifre egale.
Atunci
P(A)=(nr. ~ cazurilor ~ favorabile)/(nr. ~ cazurilor ~ posibile) .
Există (999-99=) 900 de numere de 3 cifre, sau de cazuri posibile.
Dintre acestea
- 9 numere de trei cifre au exact două cifre egale cu 0 (ultimele două);
- 8 numere au ultimele două cifre egale cu 1 şi prima diferită de 1, 9 numere au prima şi ultima cifră egală cu 1 iar cifra din mijloc diferită de 1 şi tot 9 numere au primele două cifre egale cu 1 şi ultima cifră diferită de 1, adică 26 de numere au exact două cifre egale cu 1;
...
- 8 numere au ultimele două cifre egale cu 9 şi prima diferită de 9, 9 numere au prima şi ultima cifră egală cu 9 iar cifra din mijloc diferită de 9 şi tot 9 numere au primele două cifre egale cu 9 şi ultima cifră diferită de 9, adică 26 de numere au exact două cifre egale cu 9.
Aşadar, există
9+9{cdot}26=9{cdot}(1+26)=9{cdot}27=243
numere de trei cifre care au exact două cifre egale, sau cazuri favorabile.
Prin urmare
P(A)=243/900=27/100 .

5. Să se determine a {in} {bbR} pentru care vectorii {vec{u}}=a{vec{i}}+(a+1){vec{j}} ~ şi ~ {vec{v}}=-(5a-1){vec{i}}+2{vec{j}} sunt perpendiculari.
Rezolvare: Vectorii {vec{u}} ~ şi ~ {vec{v}} sunt perpendiculari dacă şi numai dacă
$u_1u_2+v_1v_2=0{doubleleftright}$
a[-(5a-1)]+(a+1){cdot}2=0{doubleleftright}
$-5a^2+a+2a+1=0{doubleleftright}$
$-5a^2+3a+2=0{doubleleftright}$
5a^2-3a-2=0 .
Avem
${Delta}=b^2-4ac=$
$=(-3)^2-4{cdot}5{cdot}(-2)=49$
iar
$a_1=(~-b-{sqrt{Delta}})/(2a)$ ; $a_2=(~-b+{sqrt{Delta}})/(2a)$
sau
$a_1=(3-{sqrt{49}})/10$ ; $a_2=(3+{sqrt{49}})/10$
adică
a_1=(3-7)/10 ; a_2=(3+7)/10 .
Prin urmare, pentru a {in} {lbrace}-2/5;1{rbrace} vectorii {vec{u}} şi {vec{v}} sunt perpendiculari.

6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic ABC ştiind că AB=6, ~ AC=10 şi că aria triunghiului ABC este egală cu 15{sqrt{3}} .
Rezolvare: Avem
$S_{ABC}=(bc{sin{A}})/2{doubleleftright}$
15{sqrt{3}}=(10{cdot}6{cdot}{sin{A}})/2{doubleleftright}
30{sqrt{3}}=60{sin{A}}{doubleleftright}
{sin{A}}={sqrt{3}}/2{doubleleftright}
A={pi}/3 (triunghiul ABC fiind ascuţitunghic).
Aplicând acum teorema cosinusului în triunghiul ABC, pentru unghiul A, obţinem
$a^2=b^2+c^2-2bc{cos{A}}{doubleleftright}$
$a^2=10^2+6^2-2{cdot}10{cdot}6{cdot}{cos{{pi}/3}}{doubleright}$
$a^2=136-120{cdot}(1/2){doubleleftright}$
$a^2=76{doubleleftright}$
a={sqrt{76}}=2{sqrt{19}} .
Aşadar, BC=2{sqrt{19}} .

Subiectul II
1. Se consideră matricea A=({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}}) .
a) Să se calculeze rangul matricei A.
b) Să se demonstreze că $det(A^t{cdot}A)=0$ .
c) Să se determine o matrice nenulă $B {in} M_{3,2}({bbQ})$ astfel încât AB=O_2 .
Rezolvare:
a) Întrucât minorul de ordinul 2 care se obţine din matricea A prin suprimarea ultimei coloane, adică
d={delim{|}{matrix{2}{2}{-1 2 2 2}}{|}}
este egal cu
d=(-1){cdot}2-2{cdot}2=-2-4=-6<>0 ,
rezultă că rangul matricei A este 2.
b) Avem
$A^t{cdot}A=({matrix{3}{2}{-1 2 2 2 2 -1}}){cdot}({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}})=$
=({matrix{3}{3}{(-1){cdot}(-1)+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}(-1)}})=
=({matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}) .
Fie
$d=det(A^t{cdot}A)={delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}{|}}$ .
Atunci, scoţând factor comun de pe linia a doua, avem
d=2{cdot}{delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 1 4 1 -4 2 5}}{|}} .
Adunând apoi la prima linie a ultimului determinant elementele celei de-a treia linii, obţinem:

şi întrucât determinantul rezultat are două linii egale, el este nul.
Prin urmare
$det(A^t{cdot}A)=0$ .
c) Putem alege o matrice nenulă B din $M_{3,2}({bbQ})$ cu cele două coloane identice, de forma:
B=({matrix{3}{2}{a a b b c c}})
ale cărei elemente să verifice egalităţile:
{delim{lbrace}{matrix{2}{2}{{-a+2b+2c ~ =} {0} {2a+2b-c ~ =} {0}}}{}}
(egalităţi rezultate din condiţia AB=O_2 .)
Înmulţind cu -1 prima ecuaţie şi adunând-o la a doua, obţinem:
3a-3c=0{doubleleftright}a-c=0{doubleleftright}a=c .
Înlocuind pe c cu a în prima ecuaţie de exemplu, găsim:
-a+2b+2a=0{doubleleftright}a+2b=0 .
Putem alege de pildă a=2 {in} {bbQ} , caz în care b=-1 {in} {bbQ} .
Am găsit astfel o matrice nenulă B din mulţimea $M_{3,2}({bbQ})$ pentru care are loc relaţia AB=O_2 , şi anume:
B=({matrix{3}{2}{2 2 -1 -1 2 2}}) .

2. Se ştie că (G, {circ}) este grup, unde G=(3, ~ {+infty}) şi x{circ}y=(x-3)(y-3)+3 . Se consideră funcţia f:(0; ~ {+infty}) {right} G, f(x)=x+3 .
a) Să se calculeze 4{circ}5{circ}6 .
b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la .
c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale k{>=}4 , atunci H conţine toate numerele raţionale q>3 .
Rezolvare:
a) Întrucât '{circ}' este asociativă, avem:
4{circ}5{circ}6=(4{circ}5){circ}6=
=[(4-3)(5-3)+3]{circ}6=5{circ}6=
=(5-3)(6-3)+3=9 .
b) Pentru orice y {in} G=(3; ~ {+infty}) , ecuaţia f(x)=y are soluţie unică în (0; ~ {+infty}) .
Într-adevăr,
f(x)=y{doubleleftright}x+3=y{doubleleftright}x=y-3>0 .
Prin urmare, funcţia f este bijectivă.
Funcţia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, ~ {circ}) dacă şi numai dacă
1. f este bijectivă;
2. f(x{cdot}y)=f(x){circ}f(y), {forall} x, y {in} (0; ~ {+infty}) .
Mai rămâne să dovedim relaţia de la 2.

xy+3=(x+3){circ}(y+3), {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=((x+3)-3)((y+3)-3)+3, {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=xy+3, {forall}x, y {in} {0; ~ {+infty}) , (A).
Din 1 şi 2 rezultă că f este un izomorfism de grupuri.
c) Întrucât f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, {circ}){/mat} ştim că
1. f(1)=4 este element neutru pentru legea de compoziţie '{circ}' ;
2. {forall} x {in} (0; ~ {+infty}), ~ f(1/x)=1/x+3 este inversul elementului f(x)=x+3 din G, în raport cu legea de compoziţie .
Să considerăm un număr raţional q, q>3 şi să arătăm că el aparţine subgrupului H care conţine toate numerele naturale cel puţin egale cu 4.
Întrucât q>3 , q poate fi scris sub forma
$q=m/n+3, ~ unde m, n {in} {bbN}^{*}$ .
Vom arăta că q poate fi obţinut prin compunerea a două elemente din H, de unde, H fiind un subgrup al lui G, va rezulta că q aparţine lui H.
Întrucât $m, n {in} {bbN}^{*}$ , rezultă că (m+3), (n+3) {in} H . Atunci, H fiind subgrup al lui G, şi inversul lui (n+3) în raport cu '{circ}' aparţine lui H. Dar conform afirmaţiei2, inversul lui (n+3) este (n+3)'=(1/n+3) {in} H .
Prin urmare,
(m+3), (1/n+3) {in} H {doubleright} (m+3){circ}(1/n+3) {in} H{doubleleftright}
(m+3), (1/n+3) {in} H{doubleright}((m+3)-3)((1/n+3)-3)+3=(m/n+3) {in} H ,
adică am demonstrat că q aparţine lui H.
Cum q a fost un număr raţional mai mare ca 3 arbitrar ales, rezultă că H conţine toate numerele raţionale mai mari ca 3.

Subiectul III
1. Se consideră $f:{bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} {right} {bbR}, f(x)=(2x+1)/(x^2(x+1)^2)$ .
a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f.
b) Să se demonstreze că funcţia f nu are puncte de extrem local.
c) Să se calculeze ${lim {n {right} {+infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}, unde {mat}n {in} {bbN}^{*}$ .
Rezolvare:
a) Să observăm mai întâi că pentru orice {x {in} {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} , are loc
f(x)=1/(x^2)-1/((x+1)^2) .
Calculăm
$m={lim {x {right} {-infty}}{(f(x))/x}}={lim {x {right} {-infty}}{1/x[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]}}=$
$={lim {x {right} {-infty}} {1/(x^3)-1/(x(x+1)^2)}}=0-0=0$ .
$n={lim {x {right} {-infty}}{f(x)-mx}}={lim {x {right} {-infty}}{1/(x^2)-1/((x+1)^2)}}=0-0=0$ .
Aşadar, graficul funcţiei f are ca asimptotă orizontală spre dreapta de ecuaţie y=0 .
Absolut analog se arată că graficul funcţiei f are ca asimptotă orizontală spre {+infty} dreapta de ecuaţie y=0 .
Să calculăm acum
${lim {x {right} {-1}, x<-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x<-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0-')=(-1){cdot}({-infty})={+infty}$ ;
${lim {x {right} {-1}, x>-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x>-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0+')=(-1){cdot}({+infty})={-infty}$ .
Prin urmare, dreapta de ecuaţie x=-1 este asimptotă verticală atât la stânga, spre , cât şi la dreapta, spre pentru graficul funcţiei f.
Apoi,
${lim {x {right} 0, x<0}{f(x)}}={lim {x {right} 0, x<0}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=1/('0+')={+infty}=$
={lim {x {right} 0, x>0}{f(x)}} .
Deci, dreapta de ecuaţie x=0 sau axa Ox este asimptotă verticală atât la stânga, cât şi la dreapta spre pentru graficul funcţiei f.
b) Funcţia f este derivabilă pe {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} şi în plus avem:
f'(x)=[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]'=
$=[x^{-2}-(x+1)^{-2}]'=-2x^{-3}+2(x+1)^{-3}=$
$=2[1/((x+1)^3)-1/(x^3)]=(-2(3x^2+3x+1))/(x^3(x+1)^3), {forall} x {in} {bbR}{backslash} {lbrace}-1;0{rbrace}$ .
Atunci
f'(x)=0{doubleleftright}
3x^2+3x+1=0 .
Dar
${Delta}=b^2-4ac=3^2-4{cdot}3{cdot}1=-3<0$
şi prin urmare derivata funcţiei f nu se anulează în nici un punct din mulţimea {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} .
Deci, funcţia f nu are puncte de extrem local.
c) Avem:
f(1)+f(2)+...+f(n)=
=1/(1^2)-1(2^2)+1/(2^2)-1/(3^2)+1/(3^2)-1/(4^2)+...+1/(n^2)-1/((n+1)^2)=
=1-1/((n+1)^2) .
Atunci
${lim {n {right} {infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}=$
$={lim {n {right} {infty}} {[1-1/((n+1)^2)]^{n^2}}}=$
$={lim {n {right} {infty}} {{lbrace}[1-1/((n+1)^2)]^{(n+1)^2}{rbrace}^{(n^2)/((n+1)^2)}}}=$
$=e^{{lim {n {right} {infty}} {(n^2)/((n+1)^2)}}}=e^1=e$ .

2. Se consideră şirul $(I_n)_{n {in} {bbN}^{*}}, I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}}, n {in} {bbN}^{*}$ .
a) Să se calculeze I_1 .
b) Să se arate că $I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
c) Să se calculeze ${lim {n {right} {infty}}{I_n}}$ .
Rezolvare:
a) $I_1={int {1}{2}{x/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{(x+1-1)/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{1-1/(x+1)}{dx}}=$
$=[x-{ln {x+1}}]{vbar}_{1}^{2}=$
=2-{ln {3}}-1+{ln {2}}=1+{ln {2/3}} .
b) Întrucât
$(x^n)/(x^n+1) {<=} 1, {forall} x {>=} 0$ şi ${forall}n {in} {bbN}^{*}$ ,
rezultă folosind proprietăţile integralelor definite că
${int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1{cdot}(2-1)$ ,
adică
${int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ sau $I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
c) Vom demonstra folosind teorema cleştelui că ${lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1$ .
Într-adevăr, cf. pct. b
(1) $I_nn {<=} 1, {forall}n {in} {bbN}^{*}$ .
Apoi, pentru orice x {>=} 1 şi orice $n {in} {bbN}^{*}$ rezultă aplicând inegalitatea lui Bernoulli că
$x^n=[1+(x-1)]^n {>=} 1+n(x-1){doubleleftright}$
$1/(x^n) {<=} 1/(1+n(x-1)){doubleleftright}$
$1+1/(x^n) {<=} 1+1/(1+n(x-1)){doubleleft}$
$(x^n)/(x^n+1)=1/(1+1/(x^n)) {>=} 1/(1+1/(1+n(x-1)))=(nx-n+1)/(nx-n+2)$ .
Atunci, pentru orice $n {in} {bbN}^{*}$ avem
$I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {>=} {int {1}{2}{(nx-n+1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleft}$
$I_n {>=} {int {1}{2}{(nx-n+2-1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}$
$I_n {>=} {int {1}{2}{1-1/n{cdot}n/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}$
$I_n {>=} [x-1/n {cdot} {ln {delim{vbar}{nx-n+2}{vbar}}}] {vbar}_1^2{doubleleftright}$
(2) $I_n {>=} (2-1/n{ln {n+2}}-1+1/n{ln {2}})=1-1/n{ln {(n+2)/2}}$ .
Aşadar am demonstrat cf. lui (1) şi (2) că
$1-{ln{(n+2)/2}}/n {<=} I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
Dar
{lim {n {right} {infty}}{1-{ln {(n+2)/2}/n}}=1-{lim {n {right} {infty}}{{ln {(n+2)/2}}/((n+2)/2){cdot}((n+2)/2)/n}}=1-0=1 .
(am folosit la ultima egalitate faptul că ${lim {x {right} {+infty}}{{ln {x}}/x}}=0)<br />Aplicând acum teorema cleştelui şirurilor {mat}I_n, a_n=1-{ln {(n+2)/2}}/n$ şi şirului constant 1, rezultă că
${lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1$ .

Ultima actualizare ( Miercuri, 09 Martie 2011 13:06 )

Logicus - probleme de logică și perspicacitate

www.anjo.ro - magazin virtual de produse pentru nevăzători

Magazin virtual de produse pentru nevazatori