Matematică M1, varianta 5, BAC 2010

Subiectul I
1. Să se calculeze .
Rezolvare:
.

2. Să se rezolve în inecuaţia: .
Rezolvare: Rezolvăm mai întâi în inecuaţia .
Determinăm rădăcinile ecuaţiei
.
Calculăm

.
Apoi
;
sau
;
adică
şi .
Aşadar mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei este

iar mulţimea soluţiilor întregi ale aceleiaşi inecuaţii este
.

3. Să se determine inversa funcţiei bijective .
Rezolvare: Pentru a găsi inversa funcţiei bijective f, vom rezolva în mulţimea ecuaţia
,
unde y este un parametru din mulţimea .
Avem:



, pentru .
Prin urmare, inversa funcţiei f este funcţia
,
dată de legea
.

4. Să se determine numărul funcţiilor cu proprietatea că .
Rezolvare: Numărul funcţiilor cu proprietatea că , fixat este egal cu numărul funcţiilor definite pe mulţimea cu valori în mulţimea , adică cu
.
Întrucât a poate lua 4 valori diferite, rezultă că numărul funcţiilor cu proprietatea că este egal cu
.

5. Să se determine coordonatele vârfului D al paralelogramului ABCD ştiind că .
Rezolvare: ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă segmentele [AC] şi [BD] au acelaşi mijloc (cu alte cuvinte, diagonalele lui se înjumătăţesc).
Fie M mijlocul segmentului [AC]. Atunci
;
adică
; .
Coordonatele mijlocului segmentului [BD] sunt
;
sau
; .
Punem condiţia ca mijlocul segmentului [AC] să coincidă cu mijlocul segmentului [BD]:
;
;
;
; .
Deci, .

6. Triunghiul ABC are şi lungimea razei cercului circumscris egală cu 1. Să se calculeze lungimea laturii AC.
Rezolvare: Conform teoremei sinusurilor, avem





.
Prin urmare, .

Subiectul II
1. Se consideră punctele şi matricea , unde .
a) Să se arate că punctele A, B, C sunt coliniare.
b) Să se determine rangul matricei M în cazul .
c) Să se arate că dacă unul dintre minorii de ordin 3 ai lui M, care conţin ultima coloană, este nul, atunci .
Rezolvare:
a) Punctele A, B, C sunt coliniare dacă şi numai dacă

(dacă adunăm linia a treia la a doua linie)
(dacă dezvoltăm determinantul după elementele primei coloane)
, (Adevărat, întrucât elementele celor două linii ale determinantului sunt respectiv proporţionale).
Prin urmare, punctele A, B şi C sunt coliniare.
b) Pentru avem
.
Să observăm că minorul de ordinul 2 al matricei M,ale cărui elemente se găsesc la intersecţia primelor două linii cu primele două coloane, adică

este nenul. Vom calcula cei doi minori de ordinul 3 care se obţin din acesta prin bordarea cu elementele liniei şi respectiv coloanelor rămase ale matricei M. Dacă aceştia sunt nuli, atunci rangul matricei M este doi. Dacă unul din aceşti minori de ordinul 3 este nenul, atunci rangul matricei M este 3.
Aşadar
(adunând coloana 2 la coloana 3)
(dezvoltând după linia a doua)

.
Apoi
(înmulţind cu -6 prima linie şi adunând-o la a treia)
(dezvoltând după prima coloană)

.
Prin urmare, ţinând seama de cele expuse mai sus, rezultă că .
c) Să observăm că sunt 3 minori de ordinul 3 care conţin ultima coloană a matricei M, şi anume:
a) ; b) şi c) .
Pentru fiecare din minorii de mai sus există câte un minor de ordinul 2 nenul din care aceştia să se obţină prin bordarea cu elementele corespunzătoare ale ultimei linii, respectiv coloane. Aceşti minori de ordinul 2 sunt, respectiv:
a) ; b) şi c) .
Aşadar, dacă unul din minorii de ordinul 3 care conţin ultima coloană a matricei M este nul, atunci alegând minorul de ordinul 2 nenul corespunzător după cum s-a văzut mai sus, din acesta se obţin doar 2 minori de ordinul 3 prin bordare cu elementele liniei şi coloanelor rămase, dintre care unul este nul prin ipoteză iar altul este minorul care este nul după cum s-a văzut la pct. b).
Prin urmare, rangul matricei M este 2.

2. Pe mulţimea definim legea de compoziţie .
a) Să se arate că legea ‘*’ este asociativă.
b) Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în raport cu legea ‘*’.
c) Să se rezolve ecuaţia .
Rezolvare:
a) Legea ‘*’ este asociativă dacă şi numai dacă




(A).
Aşadar, legea de compoziţie ‘*’ este asociativă.
b) Trebuie să determinăm mai întâi elementul neutru al legii de compoziţie ‘*’. Numărul este element neutru pentru legea de compoziţie ‘*’ dacă şi numai dacă





.
Aşadar, numărul întreg -1 este elementul neutru al legii de compoziţie ‘*’.
Numărul este simetrizabil în raport cu legea ‘*’ dacă şi numai dacă există astfel încât




.
Această ecuaţie în x’ are soluţie unică pentru orice şi această soluţie este:
.
În concluzie, orice număr întreg x, este simetrizabil în raport cu legea ‘*’ şi simetricul său în raport cu această lege este
.
c) Mulţimea este parte stabilă a mulţimii în raport cu legea de compoziţie ‘*’.
Într-adevăr, fie două numere oarecare. Atunci
şi .
În plus


şi prin urmare adică .
Mai mult, din cele arătate la pct. a) şi b) rezultă că este un grup şi chiar mai mult, un grup abelian.
Funcţia

este un izomorfism de grupuri de la grupul la grupul multiplicativ al numerelor întregi nenule.
Într-adevăr, funcţia f este bijectivă şi în plus
.
Acestea fiind stabilite, putem trece la rezolvarea ecuaţiei din enunţ.
Să observăm mai întâi că -6/5 nu este soluţie a ecuaţiei întrucât .
Aşadar, putem restrânge rezolvarea ecuaţiei la mulţimea .






.
Prin urmare, soluţia ecuaţiei date este .

Subiectul III
1. Se consideră funcţia .
a) Să se calculeze derivata funcţiei f.
b) Să se determine punctele graficului funcţiei f, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie .
c) Să se arate că dacă , atunci .
Rezolvare:
a) Funcţia f este derivabilă pe şi în plus, pentru orice x din , avem:



.
b) Pentru fiecare punct de coordonate al graficului funcţiei f, panta tangentei la grafic în acest punct este egală cu .
Prin urmare, punctele graficului funcţiei f în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie sunt cele pentru care panta tangentei la grafic în aceste puncte este aceeaşi cu panta dreptei de ecuaţie dată, adică cele pentru care are loc




(*) .
Se observă că este rădăcină a acestei ecuaţii.
Împărţim polinomul la aplicând schema lui Horner:

Aşadar, ecuaţia (*) este echivalentă cu:
.
Rezolvăm ecuaţia:

(**) .
Avem:


şi prin urmare ecuaţia (**) nu are rădăcini reale.
Cum

rezultă că singurul punct al graficului în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie este punctul .
c) Avem

.
Am văzut la pct. a) că funcţia f este derivabilă pe şi că, în plus,
.
Prin urmare,
.
Deci, funcţia f este crescătoare pe .
Prin urmare,
,
adică
, c.c.t.d.

2. Se consideră funcţia şi şirul .
a) Să se arate că .
b) Să se calculeze .
c) Să se arate că şirul este convergent.
Rezolvare:
a) Calculăm

.
Pentru orice avem


.
Să demonstrăm prima inegalitate.


, (A).
Şi acum cea de a doua inegalitate


, (A).
Prin urmare
.
b) Fie .
Atunci

.
Deci
.
c) Şirul este strict crescător.
Într-adevăr, ,



, (A).
Întrucât şirul este strict crescător, avem
(1) .
Apoi, cf. pct. a), avem
.
Dând valori întregi lui k de la 1 la n-1 () în inegalitatea de mai sus, obţinem
;
;
;
...
.
Adunând membru cu membru inegalităţile de mai sus şi reducând termenii asemenea, rezultă


.
Dar cum

rezultă că
(2) .
Din (1) şi (2) deducem acum că
,
adică şirul este mărginit.
Şirul fiind monoton şi mărginit, rezultă că este convergent, c.c.t.d.