Matematic? M1, varianta 5, BAC 2010

Scris de Cristina Vu?can   
Luni, 04 Aprilie 2011 17:51
PDF Imprimare Email

Subiectul I
1. S? se calculeze 1/{1+2i}+1/{1-2i}.
Rezolvare: 1/{1+2i}+1/{1-2i}={(1-2i)+(1+2i)}/{(1+2i)(1-2i)}=
=2/{1^2-(2i)^2}=2/{1+4}=2/5.


2. S? se rezolve n  bbZ inecua?ia:  x^2-10x+12 {<=} 0.
Rezolvare: Rezolv?m mai nti n  bbR inecua?ia  x^2-10x+12 {<=} 0.
Determin?m r?d?cinile ecua?iei
 x^2-10x+12=0.
Calcul?m
 {Delta}'=(b/2)^2-ac=
=(-5)^2-1{cdot}12=25-12=13.
Apoi
 x_1={ - b/2 - sqrt {{Delta}'}}/a;  x_2={ - b/2+ sqrt {{Delta}'}}/a
sau
x_1={5- sqrt {13}}/1; x_2={5+ sqrt {13}}/1
adic?
x_1=5- sqrt {13} ?i x_2=5+ sqrt {13}.
A?adar mul?imea solu?iilor reale ale inecua?iei x^2-10x+12 {<=} 0 este
S_1=[5- sqrt {13}; ~ 5+ sqrt {13}]
iar mul?imea solu?iilor ntregi ale aceleia?i inecua?ii este
S=S_1 inter bbZ=[5- sqrt {13}; ~ 5+ sqrt {13}] inter bbZ={lbrace}2;3;4;5;6;7;8{rbrace}.


3. S? se determine inversa func?iei bijective f: (1; ~ {+infty}) right (0; ~ {+infty}), f(x)= 3 log_2 {x}.
Rezolvare: Pentru a g?si inversa func?iei bijective f, vom rezolva n mul?imea  (1; ~ {+infty}) ecua?ia
 f(x)=y,
unde y este un parametru din mul?imea  (0; ~ {+infty}).
Avem:
 f(x)=y{doubleleftright}
 3 log_2 {x}=y{doubleleftright}
 log_2 {x}=y/3{doubleleftright}
x=2^{y/3} in (1; ~ {+infty}), pentru  y in (0; ~ {+infty}).
Prin urmare, inversa func?iei f este func?ia
 f^{-1}: (0; ~ {+infty}) right (1; ~ {+infty}),
dat? de legea
 f^{-1}(y)=2^{y/3}, forall y in (0; ~ {+infty}).


4. S? se determine num?rul func?iilor  f: {lbrace}1;2;3;4{rbrace} right {lbrace}1;2;3;4{rbrace} cu proprietatea c? f(1)=f(4).
Rezolvare: Num?rul func?iilor  f:{lbrace}1;2;3;4{rbrace} right {lbrace}1;2;3;4{rbrace} cu proprietatea c? f(1)=f(4)=a, a in {lbrace}1;2;3;4{rbrace}, fixat este egal cu num?rul func?iilor definite pe mul?imea  {lbrace}2;3{rbrace} cu valori n mul?imea  {lbrace}1;2;3;4{rbrace}, adic? cu
 [card({lbrace}1;2;3;4{rbrace})]^{card({lbrace}2;3{rbrace})}=4^2=16.
ntruct a poate lua 4 valori diferite, rezult? c? num?rul func?iilor  f: {lbrace}1;2;3;4{rbrace} right {lbrace}1;2;3;4{rbrace} cu proprietatea c? f(1)=f(4) este egal cu
 4 {cdot} [card({lbrace}1;2;3;4{rbrace})]^{card({lbrace}2;3{rbrace})}=4 {cdot} 16=64.


5. S? se determine coordonatele vrfului D al paralelogramului ABCD ?tiind c? A(-2;9), B(7;-4), C(8;-3).
Rezolvare: ABCD este paralelogram dac? ?i numai dac? segmentele [AC] ?i [BD] au acela?i mijloc (cu alte cuvinte, diagonalele lui se njum?t??esc).
Fie M mijlocul segmentului [AC]. Atunci
 x_{M}={x_{A}+x_{C}}/2; y_{M}={y_{A}+y_{C}}/2
adic?
x_{M}={-2+8}/2=3; y_{M}={9+(-3)}/2=3.
Coordonatele mijlocului segmentului [BD] sunt
 {x_{B}+x_{D}}/2;  {y_{B}+y_{D}}/2
sau
 {7+x_{D}}/2;  {-4+y_{D}}/2.
Punem condi?ia ca mijlocul segmentului [AC] s? coincid? cu mijlocul segmentului [BD]:
x_{M}={7+x_{D}}/2; y_{M}={-4+y_{D}}/2{doubleleftright}
3={7+x_{D}}/2; 3={-4+y_{D}}/2{doubleleftright}
6=7+x_{D}; 6=-4+y_{D}{doubleleftright}
x_{D}=-1; y_{D}=10.
Deci,  D(-1;10).


6. Triunghiul ABC are B={pi}/3 ?i lungimea razei cercului circumscris egal? cu 1. S? se calculeze lungimea laturii AC.
Rezolvare: Conform teoremei sinusurilor, avem
b/{sin {B}}=2R{doubleleftright}
b/{sin {{pi}/3}}=2{cdot}1{doubleleftright}
b/{{ sqrt {3}}/2}=2{doubleleftright}
 {2b}/{ sqrt {3}}=2{doubleleftright}
2b=2 sqrt {3}{doubleleftright}
b= sqrt {3}.
Prin urmare, AC= sqrt {3}.

Subiectul II
1. Se consider? punctele A(0;6), B(1;4), C(-1;8) ?i matricea M=( matrix{3}{4}{1 1 1 1 0 1 {-1} a 6 4 8 b}), unde a, b in bbR.
a) S? se arate c? punctele A, B, C sunt coliniare.
b) S? se determine rangul matricei M n cazul a=3, b=0.
c) S? se arate c? dac? unul dintre minorii de ordin 3 ai lui M, care con?in ultima coloan?, este nul, atunci  rang(M)=2.
Rezolvare:
a) Punctele A, B, C sunt coliniare dac? ?i numai dac?
 delim{|}{matrix{3}{3}{{x_{A}} {y_{A}} 1 {x_{B}} {y_{B}} 1 {x_{C}} {y_{C}} 1}}{|}=0{doubleleftright}
 delim{|}{matrix{3}{3}{0 6 1 1 4 1 {-1} 8 1}}{|}=0{doubleleftright} (dac? adun?m linia a treia la a doua linie)
 delim{|}{matrix{3}{3}{0 6 1 0 {12} 2 {-1} 8 1}}{|}=0{doubleleftright} (dac? dezvolt?m determinantul dup? elementele primei coloane)
(-1)^{3+1} {cdot} (-1) {cdot} delim{|}{matrix{2}{2}{6 1 {12} 2}}{|}=0, (Adev?rat, ntruct elementele celor dou? linii ale determinantului sunt respectiv propor?ionale).
Prin urmare, punctele A, B ?i C sunt coliniare.
b) Pentru a=3, b=0 avem
M=( matrix{3}{4}{1 1 1 1 0 1 {-1} 3 6 4 8 0}).
S? observ?m c? minorul de ordinul 2 al matricei M,ale c?rui elemente se g?sesc la intersec?ia primelor dou? linii cu primele dou? coloane, adic?
d= delim{|}{matrix{2}{2}{1 1 0 1}}{|}
este nenul. Vom calcula cei doi minori de ordinul 3 care se ob?in din acesta prin bordarea cu elementele liniei ?i respectiv coloanelor r?mase ale matricei M. Dac? ace?tia sunt nuli, atunci rangul matricei M este doi. Dac? unul din ace?ti minori de ordinul 3 este nenul, atunci rangul matricei M este 3.
A?adar
d_{1}= delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 0 1 {-1} 6 4 8}}{|}= (adunnd coloana 2 la coloana 3)
= delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 2 0 1 0 6 4 {12}}}{|}= (dezvoltnd dup? linia a doua)
=(-1)^{2+2} {cdot} 1 {cdot} delim{|}{matrix{2}{2}{1 2 6 {12}}}{|}=
=1 {cdot} (1{cdot}12-2{cdot}6)=0.
Apoi
d_{2}= delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 0 1 3 6 4 0}}{|}= (nmul?ind cu -6 prima linie ?i adunnd-o la a treia)
= delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 0 1 3 0 {-2} {-6}}}{|}= (dezvoltnd dup? prima coloan?)
=(-1)^{1+1} {cdot} 1 {cdot} delim{|}{matrix{2}{2}{1 3 {-2} {-6}}}{|}=
=1 {cdot} (1{cdot}(-6)-3{cdot}(-2))=0.
Prin urmare, ?innd seama de cele expuse mai sus, rezult? c?  rang(M)=2.
c) S? observ?m c? sunt 3 minori de ordinul 3 care con?in ultima coloan? a matricei M, ?i anume:
a)  delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 0 1 a 6 4 b}}{|}; b)  delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 0 {-1} a 6 8 b}}{|} ?i c)  delim{|}{matrix{3}{3}{1 1 1 1 {-1} a 4 8 b}}{|}.
Pentru fiecare din minorii de mai sus exist? cte un minor de ordinul 2 nenul din care ace?tia s? se ob?in? prin bordarea cu elementele corespunz?toare ale ultimei linii, respectiv coloane. Ace?ti minori de ordinul 2 sunt, respectiv:
a)  delim{|}{matrix{2}{2}{1 1 0 1}}{|}; b)  delim{|}{matrix{2}{2}{1 1 0 {-1}}}{|} ?i c)  delim{|}{matrix{2}{2}{1 1 1 {-1}}}{|}.
A?adar, dac? unul din minorii de ordinul 3 care con?in ultima coloan? a matricei M este nul, atunci alegnd minorul de ordinul 2 nenul corespunz?tor dup? cum s-a v?zut mai sus, din acesta se ob?in doar 2 minori de ordinul 3 prin bordare cu elementele liniei ?i coloanelor r?mase, dintre care unul este nul prin ipotez? iar altul este minorul d_{1} care este nul dup? cum s-a v?zut la pct. b).
Prin urmare, rangul matricei M este 2.


2. Pe mul?imea  bbZ definim legea de compozi?ie  x{star}y=5xy+6x+6y+6.
a) S? se arate c? legea * este asociativ?.
b) S? se determine elementele simetrizabile ale mul?imii  bbZ n raport cu legea *.
c) S? se rezolve ecua?ia {x{star}x{star}...{star}x}under{de ~ 2009 ~ ori}=-1.
Rezolvare:
a) Legea * este asociativ? dac? ?i numai dac?
(x{star}y){star}z=x{star}(y{star}z), forall x, y, z in bbZ{doubleleftright}
(5xy+6x+6y+6){star}z=x{star}(5yz+6y+6z+6), forall x, y, z in bbZ{doubleleftright}
5(5xy+6x+6y+6)z+6(5xy+6x+6y+6)+6z+6=5x(5yz+6y+6z+6)+6x+6(5yz+6y+6z+6)+6, forall x, y, z in bbZ{doubleleftright}
25xyz+30xz+30yz+30z+30xy+36x+36y+36+6z+6=25xyz+30xy+30xz+30x+6x+30yz+36y+36z+36+6, forall x, y, z in bbZ{doubleleftright}
25xyz+30xy+30yz+30zx+36x+36y+36z+42=25xyz+30xy+30yz+30zx+36x+36y+36z+42, forall x, y, z in bbZ(A).
A?adar, legea de compozi?ie * este asociativ?.
b) Trebuie s? determin?m mai nti elementul neutru al legii de compozi?ie *. Num?rul  e in bbZ este element neutru pentru legea de compozi?ie * dac? ?i numai dac?
x{star}e=e{star}x=x, forall x in bbZ{doubleleftright}
5xe+6x+6e+6=5ex+6e+6x+6=x, forall x in bbZ{doubleleftright}
5xe+6x+6e+6=x, forall x in bbZ{doubleleftright}
5x(e+1)+6(e+1)=0, forall x in bbZ{doubleleftright}
(5x+6)(e+1)=0, forall x in bbZ{doubleleftright}
e=-1 in bbZ.
A?adar, num?rul ntreg -1 este elementul neutru al legii de compozi?ie *.
Num?rul  x in bbZ este simetrizabil n raport cu legea * dac? ?i numai dac? exist?  x ' in bbZ astfel nct
x{star}x'=x'{star}x=e{doubleleftright}
5xx'+6x+6x'+6=5x'x+6x'+6x+6=-1{doubleleftright}
5xx'+6x+6x'+6=-1{doubleleftright}
5xx'+6x+6x'+7=0{doubleleftright}
x'(5x+6)=-6x-7.
Aceast? ecua?ie n x are solu?ie unic? pentru orice x in bbZ, x{}-6/5 ?i aceast? solu?ie este:
x'=-{6x+7}/{5x+6}.
n concluzie, orice num?r ntreg x, x {} -6/5 este simetrizabil n raport cu legea * ?i simetricul s?u n raport cu aceast? lege este
x'=-{6x+7}/{5x+6}.
c) Mul?imea bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}este parte stabil? a mul?imii bbZ n raport cu legea de compozi?ie *.
ntr-adev?r, fie  x, y in bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace} dou? numere oarecare. Atunci
 5x+6 {} 0 ?i 5y+6 {} 0.
n plus
x{star}y+6/5=5xy+6x+6y+6+6/5=
={25xy+30x+30y+36}/5={(5x+6)(5y+6)}/5 {} 0
?i prin urmare x{star}y {} -6/5 adic? x{star}y in bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}.
Mai mult, din cele ar?tate la pct. a) ?i b) rezult? c? (bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}, ~ {star}) este un grup ?i chiar mai mult, un grup abelian.
Func?ia
f: bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace} right bbZ^{star}, f(x)=5x+6, forall x in bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}
este un izomorfism de grupuri de la grupul (bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}, ~ {star}) la grupul multiplicativ al numerelor ntregi nenule.
ntr-adev?r, func?ia f este bijectiv? ?i n plus
 forall x, y in bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}, f(x{star}y)=5(x{star}y)+6=5(5xy+6x+6y+6)+6=25xy+30x+30y+36=(5x+6)(5y+6)=f(x){cdot}f(y).
Acestea fiind stabilite, putem trece la rezolvarea ecua?iei din enun?.
S? observ?m mai nti c? -6/5 nu este solu?ie a ecua?iei ntruct {(-6/5){star}(-6/5){star}...{star}(-6/5)}under{de ~ n ~ ori}=-6/5, forall n in bbN^{star}.
A?adar, putem restrnge rezolvarea ecua?iei la mul?imea bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}.
{x{star}x{star}...{star}x}under{de ~ 2009 ~ ori}=-1{doubleleftright}
f({x{star}x{star}...{star}x}under{de ~ 2009 ~ ori})=f(-1){doubleleftright}
[f(x)]^{2009}=1{doubleleftright}
(5x+6)^{2009}=1{doubleleftright}
5x+6=1{doubleleftright}
5x=-5{doubleleftright}
x=-1 in bbZ{backslash}{lbrace}-6/5{rbrace}.
Prin urmare, solu?ia ecua?iei date este x=-1.

Subiectul III
1. Se consider? func?ia f:(0; ~ {+infty}) right bbR, f(x)= ln {x}-{2(x-1)}/{x+1}.
a) S? se calculeze derivata func?iei f.
b) S? se determine punctele graficului func?iei f, n care tangenta la grafic este paralel? cu dreapta de ecua?ie 9y=2x.
c) S? se arate c? dac? x>1, atunci  ln {x} {>=} {2(x-1)}/{x+1}.
Rezolvare:
a) Func?ia f este derivabil? pe (0; ~ {+infty}) ?i n plus, pentru orice x din (0; ~ {+infty}), avem:
f'(x)=1/x-2 {cdot} {(x-1)'{cdot}(x+1)-(x-1){cdot}(x+1)'}/{(x+1)^2}=
=1/x-2 {cdot} {1{cdot}(x+1)-(x-1){cdot}1}/{(x+1)^2}=1/x-2 {cdot} {x+1-x+1}/{(x+1)^2}=
=1/x-2{cdot}2/{(x+1)^2}=1/x-4/{(x+1)^2}={(x+1)^2-4x}/{x(x+1)^2}=
={x^2-2x+1}/{x(x+1)^2}.
b) Pentru fiecare punct de coordonate (x;f(x)), x in (0; ~ {+infty}) al graficului func?iei f, panta tangentei la grafic n acest punct este egal? cu f'(x).
Prin urmare, punctele graficului func?iei f n care tangenta la grafic este paralel? cu dreapta de ecua?ie 9y=2x{doubleleftright}y=2/9 x sunt cele pentru care panta tangentei la grafic n aceste puncte este aceea?i cu panta dreptei de ecua?ie dat?, adic? cele pentru care are loc
f'(x)=2/9{doubleleftright}
 {x^2-2x+1}/{x(x+1)^2}=2/9{doubleleftright}
9(x^2-2x+1)=2x(x+1)^2{doubleleftright}
9x^2-18x+9=2x^3+4x^2+2x{doubleleftright}
(*) 2x^3-5x^2+20x-9=0.
Se observ? c? x=1/2 este r?d?cin? a acestei ecua?ii.
mp?r?im polinomul 2X^3-5X^2+20X-9 la X-1/2 aplicnd schema lui Horner:


 tabular{0010}{010000}{{~} {X^3} {X^2} {X^1} {X^0} {~} 2 {-5} {20} {-9} {a=1/2} 2 {-4} {18} 0}


A?adar, ecua?ia (*) este echivalent? cu:
(x-1/2)(2x^2-4x+18)=0.
Rezolv?m ecua?ia:
2x^2-4x+18=0{doubleleftright}
(**) x^2-2x+9=0.
Avem:
{Delta}'=(b/2)^2-ac=
=(-1)^2-1{cdot}9=-8<0
?i prin urmare ecua?ia (**) nu are r?d?cini reale.
Cum
f(1/2)= ln {1/2}-2{1/2-1}/{1/2+1}=2/3 - ln {2}
rezult? c? singurul punct al graficului n care tangenta la grafic este paralel? cu dreapta de ecua?ie 9y=2x este punctul P(1/2;2/3 - ln {2}).
c) Avem
 ln {x} {>=} {2(x-1)}/{x+1}{doubleleftright}
 ln {x}-{2(x-1)}/{x+1} {>=} 0.
Am v?zut la pct. a) c? func?ia f este derivabil? pe (0; ~ {+infty}) ?i c?, n plus,
f'(x)={x^2-2x+1}/{x(x+1)^2}={(x-1)^2}/{x(x+1)^2}.
Prin urmare,
f'(x) {>=} 0, forall x in (0; ~ {+infty}).
Deci, func?ia f este cresc?toare pe (0; ~ {+infty}).
Prin urmare,
 forall x>1 {doubleright} f(x) {>=} f(1),
adic?
 ln {x}-{2(x-1)}/{x+1} {>=} 0, c.c.t.d.


2. Se consider? func?ia f: (0; ~ {+infty}) right bbR, f(x)=1/{x^2} ?i ?irul {(a_n)}_{n {>=} 1}, a_n=f(1)+f(2)+...+f(n).
a) S? se arate c? f(k+1) {<=} int {k}{k+1}{f(x)}{dx} {<=} f(k), forall k in (0; ~ {+infty}).
b) S? se calculeze  lim {n right infty}{ int {1}{n}{f(x)}{dx}}, n in bbN.
c) S? se arate c? ?irul {(a_n)}_{n {>=} 1} este convergent.
Rezolvare:
a) Calcul?m
 int {k}{k+1}{f(x)}{dx}= int {k}{k+1}{1/{x^2}}{dx}=
=( -1/x) delim{|}{{{~}under{k}}over{k+1}}{}=-1/{k+1}-(-1/k)=1/k-1/{k+1}.
Pentru orice  k in (0; ~ {+infty}) avem
f(k+1) {<=} int {k}{k+1}{f(x)}{dx} {<=} f(k){doubleleftright}
1/{(k+1)^2} {<=} 1/k-1/{k+1} {<=} 1/{k^2}{doubleleftright}
1/{(k+1)^2} {<=} 1/{k(k+1)} {<=} 1/{k^2}.
S? demonstr?m prima inegalitate.
1/{(k+1)^2} {0{doubleleftright}
k {<=} k+1{doubleleftright}
 0 {<=} 1, (A).
?i acum cea de a doua inegalitate
 1/{k(k+1)} {0{doubleleftright}
k {<=} k+1{doubleleftright}
 0 {<=} 1, (A).
Prin urmare
f(k+1) {<=} int {k}{k+1}{f(x)}{dx} {<=} f(k), forall k in (0; ~ {+infty}).
b) Fie  n in bbN, n>1.
Atunci
 int {1}{n}{f(x)}{dx}= int {1}{n}{1/{x^2}}{dx}=
=(-1/x) delim{|}{{{~}under{1}}over{n}}{}=-1/n-(-1/1)=1-1/n.
Deci
 lim {n right infty}{ int {1}{n}{f(x)}{dx}}= lim {n right infty}{(1-1/n)}=1.
c) ?irul  {(a_n)}_{n {>=} 1} este strict cresc?tor.
ntr-adev?r,  forall n in bbN^{star},
 a_n < a_{n+1}{doubleleftright}
 f(1)+f(2)+...+f(n) < f(1)+f(2)+...+f(n)+f(n+1){doubleleftright}
 0 < f(n+1){doubleleftright}
 0 < 1/{(n+1)^2}, (A).
ntruct ?irul  {(a_n)}_{n {>=} 1} este strict cresc?tor, avem
(1) a_n {>=} a_1 = 1, forall n in bbN^{star}.
Apoi, cf. pct. a), avem
 f(k+1) {<=} 1/k-1/{k+1}, forall k in (0; ~ {+infty}).
Dnd valori ntregi lui k de la 1 la n-1 ( n {>=} 2) n inegalitatea de mai sus, ob?inem
 f(2) {<=} 1/1-1/2;
 f(3) {<=} 1/2-1/3;
 f(4) {<=} 1/3-1/4;
...
 f(n) {<=} 1/{n-1}-1/n.
Adunnd membru cu membru inegalit??ile de mai sus ?i reducnd termenii asemenea, rezult?
 f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n) {<=} 1-1/n delim{|}{~}{}+f(1){doubleleftright}
 f(1)+f(2)+...+f(n) {<=} f(1)+1-1/n{doubleleftright}
 a_n {<=} 2-1/n =} 2.
Dar cum
 a_1 = 1 < 2
rezult? c?
(2)  a_n < 2, forall n in bbN^{star}.
Din (1) ?i (2) deducem acum c?
 a_n in [1;2), forall n in bbN^{star},
adic? ?irul  {(a_n)}_{n {>=} 1} este m?rginit.
?irul  {(a_n)}_{n {>=} 1} fiind monoton ?i m?rginit, rezult? c? este convergent, c.c.t.d.

Ultima actualizare ( Luni, 04 Aprilie 2011 18:45 )