1. Primitive

Scris de Cristina Vuşcan   
Marţi, 23 Octombrie 2012 05:33
PDF Imprimare Email

1.1. Definiţie. Fie J un interval, J subseteq bbR şi f:J right bbR. Spunem că f admite primitivă pe J, dacă există o funcţie F:J right bbR astfel încât:
1) F este derivabilă pe J;
2) F'(x)=f(x), ~ forall x in J.
Funcţia F se numeşte primitiva funcţiei f.


1.2. Propoziţie. Fie J un interval, J subseteq bbR şi f:J right bbR. Dacă F_1, ~ F_2:J right bbR sunt două primitive ale lui f, atunci există o constantă c in bbR astfel încât:
F_1(x)=F_2(x)+c, ~ forall x in J.


1.3. Observaţii.
a) Dată fiind o primitivă F_0 a unei funcţii f:J right bbR, ~ J subseteq bbR interval, atunci orice altă primitivă F a lui f este de forma
F=F_0+c, unde c este o funcţie constantă pe J.
Aceasta înseamnă că dacă o funcţie f admite primitivă, atunci f admite o infinitate de primitive. Datorită acestui fapt, vom spune adeseori ”f admite primitive” în loc de f admite primitivă.
b) Definiţia primitivei dată la punctul 1.1 s-ar putea extinde şi la funcţii definite pe reuniuni finite de intervale disjuncte, deoarece condiţiile din definiţia 1.1 au sens şi în acest caz mai general. Însă nu mai este adevărat că două astfel de primitive diferă printr-o constantă.
c) O funcţie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.
d) Dacă J subseteq bbR este un interval şi f:J right bbR este o funcţie astfel încât mulţimea f(J)=lbrace f(x) delim{|}{~}{} x in J rbrace (imaginea lui J prin f) nu este interval, atunci funcţia f nu admite primitive.
e) Orice funcţie continuă f:J right bbR, unde J subseteq bbR este un interval, admite primitive pe J.


1.4. Definiţie. Fie f:J right bbR ~ (J subseteq bbR) o funcţie care admite primitive. Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul
int {~}{~}{f(x)}{dx}.
Operaţia de calculare a primitivelor unei funcţii (care admite primitive) se numeşte integrare.
Menţionăm că simbolul int {~}{~}{f(x)}{dx} trebuie privit ca o notaţie indivizibilă, deci părţilor int {~}{~}{~} sau dx luate separat nu li se atribuie aici nici o semnificaţie.


1.5. Notaţie. Notăm cu crond mulţimea funcţiilor constante definite pe J cu valori reale
crond= lbrace f:J right bbR delim{|}{~}{} f ~ constanta rbrace.
Dacă f:J right bbR este o funcţie care admite primitive şi dacă F_0 este o primitivă a lui f, atunci
int {~}{~}{f(x)}{dx}=F_0+crond
sau
int {~}{~}{F_0'(x)}{dx}=F_0+crond.


1.6. Teoremă. Dacă f, g:J right bbR sunt funcţii care admit primitive şi alpha in bbR, ~ alpha != 0, atunci funcţiile f+g şi  alpha f admit de asemenea primitive şi au loc relaţiile:
a) int {~}{~}{[f(x)+g(x)]}{dx}=int {~}{~}{f(x)}{dx}+int {~}{~}{g(x)}{dx};
b) int {~}{~}{alpha f(x)}{dx}= alpha int {~}{~}{f(x)}{dx};
c) int {~}{~}{f(x)}{dx}=int {~}{~}{f(x)}{dx}+crond.

 

 

1.7. Tabel de integrale nedefinite


tabular{110110101}{11111}{1 {f:bbR right bbR} {f(x)=x^n; ~ n in bbN} {int {~}{~}{x^n}{dx}={x^{n+1}}/{n+1}+crond} 2 {f:J right bbR} {f(x)=x^a; ~ a in bbR backslash lbrace -1 rbrace} {int {~}{~}{x^a}{dx}={x^{a+1}}/{a+1}+crond} ~ {J subseteq (0; ~ +infty)} ~ ~ 3 {f:bbR right bbR} {f(x)=a^x; ~ a in bbR_{+} backslash lbrace 0;1 rbrace} {int {~}{~}{a^x}{dx}={a^x}/{ln {a}}+crond} 4 {f:J right bbR} {f(x)=1/x} {int {~}{~}{1/x}{dx}=ln {delim{|}{x}{|}}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace 0 rbrace} ~ ~ 5 {f:J right bbR} {f(x)=1/{x^2-a^2}, ~ a != 0} {int {~}{~}{1/{x^2-a^2}}{dx}=1/{2a} ln {delim{|}{{x-a}/{x+a}}{|}}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace pm a rbrace} ~ ~}

tabular{11110101}{11111}{6 {f:bbR right bbR} {f(x)=1/{x^2+a^2}, ~ a != 0} {int {~}{~}{1/{x^2+a^2}}{dx}=1/a arctan {x/a}+crond} 7 {f:bbR right bbR} {f(x)= sin {x}} {int {~}{~}{sin{x}}{dx}=- cos{x}+crond} 8 {f:bbR right bbR} {f(x)= cos{x}} {int {~}{~}{cos{x}}{dx}= sin{x}+crond} 9 {f:J right bbR} {f(x)=1/{cos ^2 {x}}} {int {~}{~}{1/{cos ^2 {x}}}{dx}= tan {x}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace (2k+1) {pi}/2 delim{|}{~}{} k in bbZ rbrace} ~ ~ {10} {f:J right bbR} {f(x)=1/{sin ^2 {x}}} {int {~}{~}{1/{sin ^2 {x}}}{dx}=- cotan{x}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace k pi delim{|}{~}{} k in bbZ rbrace} ~ ~}

tabular{10101100101}{11111}{{11} {f:J right bbR} {f(x)= tan{x}} {int {~}{~}{tan{x}}{dx}=- ln {delim{|}{cos{x}}{|}}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace (2k+1) {pi}/2 delim{|}{~}{} k in bbZ rbrace} ~ ~ {12} {f:J right bbR} {f(x)= cotan{x}} {int {~}{~}{cotan{x}}{dx}= ln {delim{|}{sin{x}}{|}}+crond} ~ {J subset bbR backslash lbrace k pi delim{|}{~}{} k in bbZ rbrace} ~ ~ {13} {f:bbR right bbR} {f(x)=1/{sqrt{x^2+a^2}}, ~ a != 0} {int {~}{~}{1/{sqrt{x^2+a^2}}}{dx}= ln {(x+sqrt{x^2+a^2})}+crond} {14} {f:J right bbR} {f(x)=1/{sqrt{x^2-a^2}}} {int {~}{~}{1/{sqrt{x^2-a^2}}}{dx}= ln {delim{|}{x+sqrt{x^2-a^2}}{|}}+crond} ~ {J subseteq ( -infty; ~ -a) ~~sau} ~ ~ ~ {J subseteq (a; ~ +infty), ~ a>0} ~ ~ {15} {f:J right bbR} {f(x)=1/{sqrt{a^2-x^2}}} {int {~}{~}{1/{sqrt{a^2-x^2}}}{dx}= arcsin {x/a}+crond} ~ {J subseteq ( -a;a), ~ a>0} ~ ~}

 

tabular{11001}{11111}{{16} {f:bbR right bbR} {f(x)= sqrt {x^2+a^2}, ~ a != 0} {int {~}{~}{ sqrt {x^2+a^2}}{dx}= 1/2 [ x sqrt {x^2 + a^2} + a^2 ln {(x+ sqrt {x^2 + a^2})}]+crond} {17} {f:J right bbR} {f(x)= sqrt {x^2 - a^2}} {int {~}{~}{ sqrt {x^2 - a^2}}{dx}= 1/2 ( x sqrt {x^2 - a^2} -a^2 ln {delim{|}{x+ sqrt {x^2 - a^2}}{|}})+crond} ~ {J subseteq ( -infty; ~ -a) ~~sau} ~ ~ ~ {J subseteq (a; ~ +infty), ~ a>0} ~ ~ }


Ultima actualizare ( Luni, 03 Decembrie 2012 16:07 )