Pagina principală Analiză matematică Primitive: exercitii rezolvate Integrarea prin părţi - exerciţii rezolvate
 

Integrarea prin părţi - exerciţii rezolvate

Scris de Cristina Vuşcan   
Marţi, 06 Noiembrie 2012 10:09
PDF Imprimare Email

Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii:


1. h(x)= ln {x}, x>0;

Rezolvare: Vom scrie funcţia h astfel
h(x)=(x) prime ln {x}
şi vom considera că
f(x)= ln {x} şi g(x)=x.
Atunci:
 int {~}{~}{ln {x}}{dx}=
= int {~}{~}{(x) prime ln {x}}{dx}=x ln {x}- int {~}{~}{x cdot ( ln {x}) prime}{dx}=
=x ln {x} - int {~}{~}{x cdot 1/x}{dx}=x ln {x}- int {~}{~}{1}{dx}=
=x ln {x}-x+crond=x( ln {x}-1)+crond.
Prin urmare,
 int {~}{~}{ ln {x}}{dx}=x( ln {x}-1)+crond.

Verificare: Vom face verificarea, derivând una din primitivele familiei de primitive obţinute ca rezultat. Dacă derivata este egală cu funcţia h, rezultatul obţinut este corect şi verificarea încheiată.
Aşadar:
[x( ln {x}-1)+C] prime=(x) prime ( ln {x}-1)+x( ln {x}-1) prime+0=
=1 cdot ( ln {x}-1)+x cdot 1/x=
= ln {x}-1+1= ln {x}=h(x), c.c.t.d.


2. h(x)=x ln {x}, x>0;

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{x ln {x}}{dx}= int {~}{~}{(x^2/2) prime ln {x}}{dx}.
În acest caz
f(x)= ln {x} iar g(x)=x^2/2.
Revenind la calculul primitivei lui h, obţinem:
 int {~}{~}{x ln {x}}{dx}=x^2/2 ln {x}- int {~}{~}{x^2/2 cdot ( ln {x}) prime}{dx}=
=x^2/2 ln {x} - int {~}{~}{x^2/2 cdot 1/x}{dx}=x^2/2 ln {x}- int {~}{~}{x/2}{dx}=
=x^2/2 ln {x} - x^2/4+crond=x^2/2( ln {x}-1/2)+crond.
Deci,
 int {~}{~}{x ln {x}}{dx}=x^2/2 ( ln {x} - 1/2)+crond.


3. h(x)= {ln {x}}^2, x>0;

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{{ ln {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{(x) prime { ln {x}}^2}{dx}=
=x { ln {x}}^2- int {~}{~}{x cdot ({ ln {x}}^2) prime}{dx}=
=x { ln {x}}^2- int {~}{~}{2 ln {x}}{dx}=x { ln {x}}^2-2 int {~}{~}{(x) prime ln {x}}{dx}=
=x { ln {x}}^2-2(x ln {x}- int {~}{~}{x cdot ( ln {x}) prime}{dx})=x { ln {x}}^2-2(x ln {x}- int {~}{~}{x cdot 1/x}{dx})=
=x {ln {x}}^2-2(x ln {x}- int {~}{~}{1}{dx})=x { ln {x}}^2-2(x ln {x}-x)+crond=x { ln {x}}^2-2x ln {x}+2x+crond=
=x { ln {x}}^2-2x( ln {x} -1)+crond.
Prin urmare,
 int {~}{~}{{ ln {x}}^2}{dx}=x { ln {x}}^2-2x( ln {x} -1)+crond.


4. h(x)=1/x ln {x}, x>0;

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}= int {~}{~}{( ln {x}) prime cdot ln {x}}{dx}=
={ ln {x}}^2- int {~}{~}{ ln {x} cdot ( ln {x}) prime}{dx}={ ln {x}}^2- int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}.
Trecând cu semn schimbat în membrul stâng al egalităţii termenul  int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}, obţinem
2 int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}={ ln {x}}^2+crond doubleright
 int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}={ ln {x}}^2/2+crond.
Deci
 int {~}{~}{1/x ln {x}}{dx}={ ln {x}}^2/2+crond.


5. h(x)=x^3 { ln {x}}^2, x>0;

Rezolvare:
 int {~}{~}{x^3 { ln {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{(x^4/4) prime { ln {x}}^2}{dx}=
=x^4/4 { ln {x}}^2 - 1/4 int {~}{~}{x^4 cdot (2 ln {x} cdot 1/x)}{dx}=x^4/4 { ln {x}}^2 - 1/2 int {~}{~}{x^3 ln {x}}{dx}=x^4/4 { ln {x}}^2 - 1/2 int {~}{~}{(x^4/4) prime ln {x}}{dx}=
=x^4/4 { ln {x}}^2 - 1/2 (x^4/4 ln {x} - 1/4 int {~}{~}{x^4 cdot 1/x}{dx})=
=x^4/4 { ln {x}}^2 - {x^4}/8 ln {x} + 1/8 int {~}{~}{x^3}{dx}=x^4/4 { ln {x}}^2 - {x^4}/8 ln {x} + {x^4}/32+crond=x^4/4 ( { ln {x}}^2 - { ln {x}}/2 + 1/8)+crond.
Prin urmare
 int {~}{~}{x^3 { ln {x}}^2}{dx}=x^4/4 ( { ln {x}}^2 - { ln {x}}/2 + 1/8)+crond.


6. h(x)=x e^{x}, x in bbR;

Rezolvare:
 int {~}{~}{x e^{x}}{dx}= int {~}{~}{x cdot (e^{x}) prime}{dx}=
=x e^{x} - int {~}{~}{(x) prime e^{x}}{dx}=x e^{x} - int {~}{~}{e^{x}}{dx}=
=x e^{x} - e^{x}+crond=(x-1)e^{x}+crond.
Aşadar
 int {~}{~}{x e^{x}}{dx}=(x-1)e^{x}+crond.


7. h(x)=x^2 sin {x}, x in bbR;

Rezolvare:  int {~}{~}{x^2 sin {x}}{dx}= int {~}{~}{x^2 ( - cos {x}) prime}{dx}=
=- x^2 cos {x} + 2 int {~}{~}{x cos {x}}{dx}=- x^2 cos {x} + 2 int {~}{~}{x ( sin {x}) prime}{dx}=
=- x^2 cos {x} + 2x sin {x} - 2 int {~}{~}{ sin {x}}{dx}=- x^2 cos {x} + 2x sin {x} + 2 cos {x}+crond=
=( - x^2 + 2) cos {x}+2x sin {x}+crond.
Prin urmare
 int {~}{~}{x^2 sin {x}}{dx}=( - x^2 + 2) cos {x}+2x sin {x}+crond.


8. h(x)= { sin {x}}^2, x in bbR;

Rezolvare:
 int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} sin {x}}{dx}= int {~}{~}{ ( - cos {x}) prime sin {x}}{dx}=
= - sin {x} cos {x} + int {~}{~}{ cos {x} ( sin {x}) prime}{dx}= - sin {x} cos {x} + int {~}{~}{{ cos {x}}^2}{dx}=
= - sin {x} cos {x} + int {~}{~}{(1- { sin {x}}^2)}{dx}= - sin {x} cos {x} + int {~}{~}{1}{dx} - int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}=
= - sin {x} cos {x} + x - int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}.
Trecând cu semn schimbat în membrul stâng termenul  int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}, obţinem
 2 int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}= - sin {x} cos {x} + x+crond
de unde
 int {~}{~}{{ sin {x}}^2}{dx}=1/2 (x - sin {x} cos {x})+crond.


9. h(x)= { sin {x}}^4, x in bbR;

Rezolvare:
 int {~}{~}{{ sin {x}}^4}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} { sin {x}}^3}{dx}=
= int {~}{~}{ ( - cos {x}) prime { sin {x}}^3}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^3 + int {~}{~}{ cos {x} cdot ( 3 { sin {x}}^2 cos {x})}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3 int {~}{~}{ { sin {x}}^2 { cos {x}}^2}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3 int {~}{~}{{{ sin {2x}}^2}/4}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3/4 int {~}{~}{{ sin {2x}}^2}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3/4 int {~}{~}{{1- cos {4x}}/2}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3/8 int {~}{~}{1}{dx} - 3/8 int {~}{~}{cos {4x}}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^3 + 3/8 x - 3/{32} sin {4x}+crond.
Deci
 int {~}{~}{{ sin {x}}^4}{dx}= 3/8 x - 3/{32} sin {4x} - { sin {x}}^3 cos {x} +crond.


10. h(x)= { sin {x}}^3+2 { cos {x}}^3, x in bbR;

Rezolvare:
 int {~}{~}{{ sin {x}}^3 + 2 { cos {x}}^3}{dx}= int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx} + 2 int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}.
Fie
I_1= int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx} şi
I_2= int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}.
Avem:
I_1= int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}= int {~}{~}{ (sin {x}) cdot { sin {x}}^2}{dx}=
= int {~}{~}{( - cos {x}) prime cdot { sin {x}}^2}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^2 + int {~}{~}{cos {x} (2 sin {x} cos {x})}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^2 + 2 int {~}{~}{ sin {x} { cos {x}}^2}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^2 + 2 int {~}{~}{sin {x} (1- { sin {x}}^2)}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^2 + 2 int {~}{~}{sin {x}}{dx} - 2 int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}=
= - cos {x} { sin {x}}^2 - 2 cos {x} - 2 int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}.
Trecând cu semn schimbat, în membrul stâng, termenul  int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}, obţinem
 3 int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}= - cos {x} { sin {x}}^2 - 2 cos {x}+crond
de unde
(1) I_1= - {cos {x}}/3 ( { sin {x}}^2 + 2)+crond.
Apoi
I_2= int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}= int {~}{~}{ ( cos {x}) cdot { cos {x}}^2}{dx}=
= int {~}{~}{ ( sin {x}) prime cdot { cos {x}}^2}{dx}= sin {x} { cos {x}}^2 - int {~}{~}{sin {x} ( -2 cos {x} sin {x})}{dx}=
= sin {x} { cos {x}}^2 +2 int {~}{~}{{ sin {x}}^2 cos {x}}{dx}= sin {x} { cos {x}}^2 +2 int {~}{~}{ (1- { cos {x}}^2) cos {x}}{dx}=
= sin {x} { cos {x}}^2 +2 int {~}{~}{cos {x}}{dx} -2 int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}=
= sin {x} { cos {x}}^2 +2 sin {x} -2 int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}.
Trecând cu semn schimbat, în membrul stâng, termenul  int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}, obţinem
3 int {~}{~}{{ cos {x}}^3}{dx}= sin {x} { cos {x}}^2 +2 sin {x}+crond
de unde
(2) I_2= {sin {x}}/3 ( { cos {x}}^2 +2)+crond.
Acum, din (1) şi (2) rezultă
 int {~}{~}{{ sin {x}}^3 +2 { cos {x}}^3}{dx}= - {cos {x}}/3 ( { sin {x}}^2+2)+2[ {sin {x}}/3 ( { cos {x}}^2 +2)]+crond=
= {sin {x} cos {x}}/3 ( 2 cos {x} - sin {x})+2/3 ( 2 sin {x} - cos {x})+crond.


11. h(x)= sqrt {x^2-4}, x in (2; ~ +infty);

Rezolvare:
 int {~}{~}{ sqrt {x^2-4}}{dx}= int {~}{~}{(x) prime sqrt {x^2-4}}{dx}=
= x sqrt {x^2-4} - int {~}{~}{x cdot (1/{2 sqrt {x^2-4}} cdot 2x)}{dx}= x sqrt {x^2-4} - int {~}{~}{{x^2-4+4}/{ sqrt {x^2-4}}}{dx}=
= x sqrt {x^2-4} - int {~}{~}{{x^2-4}/{ sqrt {x^2-4}}}{dx} -4 int {~}{~}{1/{ sqrt {x^2-4}}}{dx}=
= x sqrt {x^2-4} -4 ln {x+ sqrt {x^2-4}} - int {~}{~}{ sqrt {x^2-4}}{dx}.
Trecând cu semn schimbat în membrul stâng termenul  int {~}{~}{ sqrt {x^2-4}}{dx}, obţinem:
 2 int {~}{~}{ sqrt {x^2-4}}{dx}= x sqrt {x^2-4} -4 ln {x+ sqrt {x^2-4}}+crond
de unde
 int {~}{~}{ sqrt {x^2-4}}{dx}= x/2 sqrt {x^2-4} -2 ln {x+ sqrt {x^2-4}}+crond.

Ultima actualizare ( Duminică, 18 Noiembrie 2012 19:16 )