Pagina principală Analiză matematică Primitive: exercitii rezolvate Prima metodă de schimbare de variabilă - exerciţii rezolvate (1)
 

Prima metodă de schimbare de variabilă - exerciţii rezolvate (1)

Scris de Cristina Vuşcan   
Sâmbătă, 17 Noiembrie 2012 16:47
PDF Imprimare Email


Să se calculeze utilizând prima metodă de schimbare de variabilă primitivele următoarelor funcţii:


1. h(x)={4x+2}/{x^2+x+3}, unde x in bbR ;

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{{4x+2}/{x^2+x+3}}{dx}= 2 int {~}{~}{{(x^2+x+3) prime }/{x^2+x+3}}{dx}.
Aplicăm prima metodă de schimbare de variabilă pentru funcţiile  varphi : bbR right bbR_{+} backslash lbrace 0 rbrace , f: bbR_{+} backslash lbrace 0 rbrace right bbR , unde
 varphi (x)=x^2+x+3, f(t)=1/t.
Întrucât
 int {~}{~}{1/t}{dt}= ln {delim{|}{t}{|}}+crond,
obţinem
 int {~}{~}{{4x+2}/{x^2+x+3}}{dx}=2 int {~}{~}{{(x^2+x+3) prime }/{x^2+x+3}}{dx}= 2 ln {delim{|}{x^2+x+3}{|}}+crond= 2 ln {(x^2+x+3)}+crond.


2. h(x)={ sin {x}}/{1+{ cos {x}}^2}, unde  x in bbR;

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{{ sin {x}}/{1+{ cos {x}}^2}}{dx}= - int {~}{~}{{( cos {x}) prime }/{1+{ cos {x}}^2}}{dx}.
Aplicăm prima metodă de schimbare de variabilă pentru funcţiile  varphi : bbR right bbR, f: bbR right bbR , unde
 varphi (x)= cos {x}, f(t)=1/{1+t^2}.
Întrucât
 int {~}{~}{1/{1+t^2}}{dt}= arctan {t}+crond,
obţinem
 int {~}{~}{{ sin {x}}/{1+{ cos {x}}^2}}{dx}= - int {~}{~}{{( cos {x}) prime }/{1+{ cos {x}}^2}}{dx}= - arctan { cos {x}}+crond.


3.  h(x)=1/{cos {x}}, unde x in ( - {pi}/2; {pi}/2);

Rezolvare: Avem
 int {~}{~}{1/{cos {x}}}{dx}= int {~}{~}{{cos {x}}/{{cos {x}}^2}}{dx}= int {~}{~}{{cos {x}}/{1-{sin {x}}^2}}{dx}=
= - int {~}{~}{{cos {x}}/{{sin {x}}^2-1}}{dx}= - int {~}{~}{{( sin {x}) prime }/{{sin {x}}^2-1}}{dx}.
Aplicăm prima metodă de schimbare de variabilă pentru funcţiile  varphi : ( - {pi}/2; {pi}/2) right ( -1;1), f: ( -1;1) right bbR , unde
 varphi (x)= sin {x}, f(t)=1/{t^2-1}.
Întrucât
 int {~}{~}{1/{t^2-1}}{dt}= 1/2 cdot ln {delim{|}{{t-1}/{t+1}}{|}}+crond,
obţinem
 int {~}{~}{1/{cos {x}}}{dx}= - 1/2 cdot ln {delim{|}{{sin {x} -1}/{sin {x} +1}}{|}}+crond= - 1/2 cdot ln {{1- sin {x}}/{1+ sin {x}}}+crond.


4. h(x)={1+{ tan {x}}^2}/{ tan {x}}, unde  x in (0; {pi}/2);

Rezolvare: Să observăm că
1+{ tan {x}}^2=1+{{ sin {x}}^2}/{{ cos {x}}^2}={{ sin {x}}^2+{ cos {x}}^2}/{{ cos {x}}^2}=1/{{ cos {x}}^2}=( tan {x}) prime .
Aşadar,
 int {~}{~}{{1+{ tan {x}}^2}/{ tan {x}}}{dx}= int {~}{~}{1/{ tan {x}} cdot ( tan {x}) prime }{dx}.
Aplicăm prima metodă de schimbare de variabilă pentru funcţiile  varphi : (0; {pi}/2) right (0; ~ +infty), f: (0; ~ +infty) right bbR , unde
 varphi (x)= tan {x}, f(t)=1/t.
Întrucât
 int {~}{~}{1/t}{dt}= ln {delim{|}{t}{|}}+crond,
obţinem
 int {~}{~}{{1+{ tan {x}}^2}/{ tan {x}}}{dx}= ln {delim{|}{ tan {x}}{|}}+crond= ln { tan {x}}+crond.


5.  h(x)= tan {x}+{ tan {x}}^3, unde x in ( - {pi}/2; {pi}/2);

Rezolvare:  int {~}{~}{ tan {x}+{ tan {x}}^3}{dx}= int {~}{~}{ tan {x} cdot (1+{ tan {x}}^2)}{dx}=
= int {~}{~}{ tan {x} cdot ( tan {x}) prime }{dx}= {{ tan {x}}^2}/2+crond.


6.  h(x)= sin {x} { cos {x}}^2, unde  x in bbR ;

Rezolvare:  int {~}{~}{ sin {x} { cos {x}}^2}{dx}= - int {~}{~}{( cos {x}) prime { cos {x}}^2}{dx}= - {{ cos {x}}^3}/3+crond.


7.  h(x)= { sin {x}}^3 { cos {x}}^2, unde  x in bbR ;

Rezolvare:  int {~}{~}{{ sin {x}}^3 { cos {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} { sin {x}}^2 { cos {x}}^2}{dx}=
= int {~}{~}{ sin {x} (1- { cos {x}}^2) { cos {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} ({ cos {x}}^2 - { cos {x}}^4)}{dx}= - int {~}{~}{( cos {x}) prime ({ cos {x}}^2 - { cos {x}}^4)}{dx}=
= - ({{ cos {x}}^3}/3 - {{ cos {x}}^5}/5)+crond={{ cos {x}}^5}/5 - {{ cos {x}}^3}/3+crond.


8.  h(x)= { sin {x}}^3, unde  x in bbR ;

Rezolvare:  int {~}{~}{{ sin {x}}^3}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} { sin {x}}^2}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} (1- { cos {x}}^2)}{dx}=
= - int {~}{~}{( cos {x}) prime (1- { cos {x}}^2)}{dx}= - ( cos {x} - {{ cos {x}}^3}/3)+crond= {{ cos {x}}^3}/3 - cos {x}+crond.


9.  h(x)= { sin {x}}^5, unde  x in bbR ;

Rezolvare:  int {~}{~}{{ sin {x}}^5}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} { sin {x}}^4}{dx}= int {~}{~}{ sin {x} {(1- { cos {x}}^2)}^2}{dx}=
= int {~}{~}{ sin {x} (1 - 2 { cos {x}}^2 + { cos {x}}^4}{dx}= - int {~}{~}{( cos {x}) prime (1 - 2 { cos {x}}^2 + { cos {x}}^4}{dx}=
= - ( cos {x} - {2 { cos {x}}^3}/3 + {{ cos {x}}^5}/5)+crond= - {{ cos {x}}^5}/5 + {2 { cos {x}}^3}/3 - cos {x}+crond.


10.  h(x)= { sin {x}+ cos {x}}/{ sin {x} - cos {x}}, unde  x in ( - {pi}/4; {pi}/4);

Rezolvare:  int {~}{~}{{ sin {x} + cos {x}}/{ sin {x} - cos {x}}}{dx}= int {~}{~}{{( sin {x} + cos {x})( sin {x} - cos {x})}/{( sin {x} - cos {x})( sin {x} - cos {x})}}{dx}=
= int {~}{~}{{{ sin {x}}^2 - { cos {x}}^2}/{{( sin {x} - cos {x})}^2}}{dx}= int {~}{~}{{ - cos {2x}}/{{ sin {x}}^2 - 2 sin {x} cos {x} + { cos {x}}^2}}{dx}=
= int {~}{~}{{ - cos {2x}}/{1- {{ sin {2x}}^2}/2}}{dx}= int {~}{~}{{ cos {2x}}/{{({ sin {2x}}/{ sqrt {2}})}^2 -1}}{dx}=
= { sqrt {2}}/2 int {~}{~}{{( { sin {2x}}/{ sqrt {2}}) prime }/{{( { sin {2x}}/{ sqrt {2}})}^2 -1}}{dx}= { sqrt {2}}/2 cdot 1/2 ln {delim{|}{{{ sin {2x}}/{ sqrt {2}} - 1}/{{ sin {2x}}/{ sqrt {2}} + 1}}{|}}+crond=
= { sqrt {2}}/4 ln {({ sqrt {2} - sin {2x}}/{ sqrt {2} + sin {2x}})}+crond.


11.  h(x)={ sqrt {x}}/{ sqrt {1- x^3}}, unde  x in (0;1);

Rezolvare:  int {~}{~}{{ sqrt {x}}/{ sqrt {1- x^3}}}{dx}= int {~}{~}{{ sqrt {x}}/{ sqrt {1- {( sqrt {x^3})}^2}}}{dx}=
= 2/3 int {~}{~}{{(x^{3/2}) prime }/{ sqrt {1- {(x^{3/2})}^2}}}{dx}=
=2/3 arcsin {x^{3/2}}+crond= 2/3 arcsin {(x sqrt {x})}+crond.


12.  h(x)= sqrt{1+x^2}, unde  x in bbR ;

Rezolvare:  int {~}{~}{ sqrt {1+x^2}}{dx}= int {~}{~}{{1+x^2}/{ sqrt {1+x^2}}}{dx}=
= int {~}{~}{1/{ sqrt {1+x^2}}}{dx} + int {~}{~}{{x^2}/{ sqrt {1+x^2}}}{dx}= ln {(x+ sqrt {x^2 +1})} + int {~}{~}{ x cdot ( sqrt {1+x^2}) prime }{dx}=
= ln {(x+ sqrt {x^2 + 1})} + x sqrt {x^2 + 1} - int {~}{~}{(x) prime sqrt {1+x^2}}{dx}= ln {(x+ sqrt {x^2 + 1})} + x sqrt {x^2 + 1} - int {~}{~}{ sqrt {1+x^2}}{dx}.
Trecând  int {~}{~}{ sqrt {1+x^2}}{dx} în membrul stâng cu semn schimbat, obţinem:
 2 int {~}{~}{ sqrt {1+x^2}}{dx} = ln {(x+ sqrt {x^2 + 1})} + x sqrt {x^2 + 1} + crond doubleleftright
 int {~}{~}{ sqrt {1+x^2}}{dx}= 1/2 ( ln {(x+ sqrt {x^2 + 1})} + x sqrt {x^2 + 1}) + crond.


13.  h(x)= x sqrt {{(x-1)}^3}, unde  x in (1; ~ +infty).

Rezolvare:  int {~}{~}{ x sqrt {{(x-1)}^3}}{dx}= int {~}{~}{x {(x-1)}^{3/2}}{dx}=
= 2/5 int {~}{~}{x [{(x-1)}^{5/2}] prime }{dx}= 2/5 x {(x-1)}^{5/2} - 2/5 int {~}{~}{ {(x-1)}^{5/2}}{dx}=
= 2/5 x {(x-1)}^{5/2} - 2/5 {{(x-1)}^{7/2}}/{7/2}+crond= 2/5 x {(x-1)}^{5/2} - 2/5 cdot 2/7 {(x-1)}^{7/2}+crond=
= 2/5 {(x-1)}^{5/2} [x - 2/7 (x-1)]+crond= 2/35 (5x+2) {(x-1)}^{5/2} + crond.

Ultima actualizare ( Duminică, 18 Noiembrie 2012 19:19 )