2. Mulţimea numerelor naturale

Operaţii pe mulţimea numerelor naturale

Mulţimea numerelor naturale este

Mulţimea numerelor naturale diferite de zero (nenule) este


Adunarea
Dacă , atunci .
Numerele naturale a şi b se numesc termeni, iar numărul natural c se numeşte sumă.

Proprietăţile adunării

i) asociativitatea
Adunarea numerelor naturale este asociativă, adică:
;

ii) comutativitatea
Adunarea numerelor naturale este comutativă, adică:
;

iii) element neutru
Numărul natural 0 este element neutru pentru adunarea numerelor naturale, adică:
.

Scăderea
Pentru , definim diferenţa dintre a şi b ca fiind numărul natural c, cu proprietatea .
Cu alte cuvinte,
.
Numărul natural a se numeşte descăzut, numărul natural b se numeşte scăzător, iar numărul natural c se numeşte rest sau diferenţă.

Scăderea numerelor naturale nu este nici asociativă, nici comutativă.
Astfel, de exemplu,
,
şi, în plus, deşi
, diferenţa dintre 3 şi 5 nu este definită în .

Înmulţirea
Dacă , atunci .
Numerele a şi b se numesc factori, iar numărul natural c se numeşte produs.

Proprietăţile înmulţirii

i) asociativitatea
Înmulţirea numerelor naturale este asociativă, adică:
;

ii) comutativitatea
Înmulţirea numerelor naturale este comutativă, adică:
;

iii) element neutru
Numărul natural 1 este element neutru pentru înmulţirea numerelor naturale, adică:
;

iv) distributivitatea faţă de adunare şi scădere
Înmulţirea este distributivă faţă de adunare şi scădere, adică:

şi
.
Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere stă la baza metodei de scoatere în factor comun:

sau
.

Împărţirea
Teorema împărţirii cu rest. Pentru orice numere naturale a şi b, cu , există două numere naturale unice q şi r, astfel încât:
constituie proba împărţirii cu rest.
Dacă r=0, se spune că a se împarte exact la b.

Puteri. Operaţii cu puteri

Prin definiţie a la puterea n este numărul notat
.
a se numeşte baza puterii iar n exponentul puterii.
Prin convenţie,

iar
nu are sens.

Proprietăţi ale operaţiilor cu puteri

i) ;
ii) ;
iii) ;
iv) ;

II. Divizibilitate
Dacă a şi b sunt două numere naturale, spunem că b divide pe a sau că a este divizibil cu b dacă există un număr natural c astfel încât .
Notaţie. (b divide pe a), respectiv (a se divide cu b).
În această situaţie mai putem spune că b este un divizor al lui a sau că a este un multiplu al lui b.

Proprietăţile relaţiei de divizibilitate
- reflexivitatea: ;
- antisimetria: dacă şi , atunci ;
- tranzitivitatea: dacă şi , atunci .

- (orice număr natural are ca divizori pe 1 şi pe el însuşi, numiţi divizori improprii.);
- (0 este divizibil cu orice număr natural.);
- dacă , atunci ;
- dacă , atunci ;
- dacă şi b şi c sunt prime între ele, atunci .

Criterii de divizibilitate

Criterii de divizibilitate cu 10, 100, 1000
Criteriul de divizibilitate cu 10. Un număr natural este divizibil cu 10 dacă şi numai dacă are ultima cifră egală cu 0.
Criteriul de divizibilitate cu 100. Un număr natural este divizibil cu 100 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt egale cu 0.
Criteriul de divizibilitate cu 1000. Un număr natural este divizibil cu 1000 dacă şi numai dacă ultimele trei cifre ale sale sunt egale cu 0.
În general, un număr natural este divizibil cu dacă şi numai dacă ultimele n cifre ale sale sunt egale cu 0.

Criteriile de divizibilitate cu 2 şi cu 5
Criteriul de divizibilitate cu 2. Un număr natural este divizibil cu 2 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este divizibilă cu 2, adică este o cifră pară (0, 2, 4, 6 sau 8).
Criteriul de divizibilitate cu 5. Un număr natural este divizibil cu 5 dacă şi numai dacă ultima sa cifră este divizibilă cu 5, adică este 0 sau 5.

Criteriile de divizibilitate cu 4 şi cu 25
Criteriul de divizibilitate cu 4. Un număr natural este divizibil cu 4 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale formează un număr divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 25. Un număr natural este divizibil cu 25 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale formează un număr divizibil cu 25, adică ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.

Criteriile de divizibilitate cu 3 şi cu 9
Criteriul de divizibilitate cu 3. Un număr natural este divizibil cu 3 dacă şi numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9. Un număr natural este divizibil cu 9 dacă şi numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.

Numere prime şi numere compuse
Definiţie. Se numeşte număr prim orice număr natural diferit de 1 care se divide doar cu 1 şi cu el însuşi, adică admite doar divizori improprii.
Definiţie. Se numeşte număr compus orice număr natural care admite cel puţin trei divizori.

Cel mai mare divizor comun
Definiţie. Cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale nu toate nule este cel mai mare număr natural care divide toate numerele date.
Notaţie. este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor .

Definiţie. Două numere naturale se numesc prime între ele dacă c.m.m.d.c. al lor este 1.

C.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni, luaţi o singură dată, la puterea cea mai mică.

Cel mai mic multiplu comun
Definiţie. Cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale diferite de zero este cel mai mic număr natural diferit de zero care se divide cu toate numerele date.
Notaţie. este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor .

C.m.m.m.c. a două sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni şi necomuni, luaţi o singură dată, la puterea cea mai mare.

Proprietate. Pentru orice numere naturale nenule a şi b are loc:
.