16. Cazurile de congruenţă a triunghiurilor

Definiţie. Fie ABC şi DEF două triunghiuri oarecare. Spunem că ”triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF” dacă şi numai dacă au loc în acelaşi timp următoarele 6 congruenţe:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Notaţie. .

Pentru a scrie cele 6 congruenţe se ţine seama că:
1) Laturile şi unghiurile celor două triunghiuri se corespund în ordinea dată (scrisă) de congruenţa celor două triunghiuri. Ele se mai numesc şi elemente (laturi sau unghiuri) omoloage.
2) Laturile şi unghiurile celor două triunghiuri congruente, care se corespund (omoloage), sunt congruente.

De exemplu, în cazul triunghiurilor congruente MNP şi QRS, laturile care se corespund, şi deci sunt congruente, sunt:
1) ;
2) ;
3) ;
iar unghiurile omoloage, şi care sunt deci congruente, sunt:
4) ;
5) ;
6) .


Experienţa câştigată prin rezolvarea problemelor privind construirea de triunghiuri ne arată că următoarele afirmaţii, numite ”cazurile de congruenţă a triunghiurilor oarecare”, sunt adevărate:

Cazurile de congruenţă a triunghiurilor oarecare

Cazul 1. (Latură-Unghi-Latură, L.U.L.)
Două triunghiuri oarecare care au câte două laturi şi unghiul cuprins între ele respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 2. (Unghi-Latură-Unghi, U.L.U.)
Două triunghiuri oarecare care au câte o latură şi unghiurile alăturate ei respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 3. (Latură-Latură-Latură, L.L.L.)
Două triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente.


Observaţii:
1) După ce am stabilit că două triunghiuri oarecare sunt congruente (conform unuia dintre cazurile de congruenţă), putem descoperi restul elementelor care sunt respectiv congruente, ţinând seama şi de faptul că: la laturi congruente se opun unghiuri respectiv congruente şi, invers, la unghiuri congruente se opun laturi respectiv congruente.
2) Într-un triunghi avem de considerat 6 elemente principale, şi anume: cele 3 unghiuri şi cele 3 laturi. Este suficient să constatăm, în două triunghiuri oarecare, congruenţa a 3 dintre aceste elemente, alese în mod convenabil, dintre care cel puţin un element să fie latură, pentru a putea afirma congruenţa celor două triunghiuri oarecare şi, în particular, congruenţa celorlalte 3 elemente.
3) Cazurile de congruenţă a triunghiurilor oarecare asigură ”alegerea convenabilă" din două triunghiuri a 3 dintre elementele principale. Oricare altă alegere din două triunghiuri a 3 elemente congruente, sau a unui număr mai mic de 3 elemente congruente, nu asigură congruenţa celor două triunghiuri şi, ca urmare, nici congruenţa celorlalte elemente.


Cazurile de congruenţă a triunghiurilor dreptunghice

Cazul 1. (Catetă-Catetă, C.C.)
Două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 2. (Catetă-Unghi, C.U.)
Două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă şi unghiul ascuţit alăturat acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă şi unghiul ascuţit opus acesteia respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 3. (Ipotenuză-Unghi, I.U.)
Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente şi câte unul din unghiurile ascuţite congruente, sunt congruente.

Cazul 4. (Ipotenuză-Catetă, I.C.)
Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele şi câte o catetă respectiv congruente sunt congruente.