Matematică, M1, varianta 4, BAC 2010

Scris de Cristina Vuşcan

Miercuri, 09 Martie 2011 11:03

Subiectul I
1. Să se arate că numărul (1/(1-i)-1/(1+i))^2 este real.
Rezolvare: Avem
(1/(1-i)-1/(1+i))^2=[((1+i)-(1-i))/((1-i)(1+i))]^2=
=((2i)/(1^2-i^2))^2=((2i)/(1+1))^2=
$=((2i)/2)^2=i^2=-1 {in} {bbR}$ .

2. Să se arate că vârful parabolei y=x^2+5x+1 este situat în cadranul III.
Rezolvare: Vârful V al parabolei are coordonatele
$x_V=-b/(2a); ~ y_V=-{Delta}/(4a)$
adică
$x_V=-5/(2{cdot}1); ~ y_V=-(b^2-4ac)/(4a)$
sau
$x_V=-5/2; ~ y_V=-(5^2-4{cdot}1{cdot}1)/(4{cdot}1)$ .
Prin urmare vârful V al parabolei are coordonatele
x_V=-5/2 < 0; ~ y_V=-21/4 < 0
şi deci este situat în cadranul III.

3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0$ .
Rezolvare: Avem
$9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0 {doubleleftright}$
$(3^2)^x-10{cdot}(3^x)/3+1=0{doubleleftright}$
$(3^x)^2-10/3{cdot}3^x+1=0 ~ |{cdot}3{doubleleftright}$
$3{cdot}(3^x)^2-10{cdot}3^x+3=0$ .
Notăm 3^x=t iar ecuaţia de mai sus devine atunci
3t^2-10t+3=0 .
Atunci
${Delta}'=(b/2)^2-ac=(-5)^2-3{cdot}3=16$
iar
$t_1=(~-b/2-{sqrt{Delta}})/a$ ; $t_2=(~-b/2+{sqrt{Delta}})/a$
adică
$t_1=(5-{sqrt{16}})/3$ ; $t_2=(5+{sqrt{16}})/3$
sau
t_1=1/3 > 0 ; t_2=3 > 0 .
Pentru a găsi soluţiile ecuaţiei date vom rezolva ecuaţiile
3^x=1/3 şi 3^x=3 .
Aceste soluţii sunt -1 şi respectiv 1. Prin urmare, mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei date este
S={lbrace}-1;1{rbrace} .

4. Să se determine probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre acesta să aibă exact două cifre egale.
Rezolvare: Notăm cu A evenimentul
A: alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, numărul ales are exact două cifre egale.
Atunci
P(A)=(nr. ~ cazurilor ~ favorabile)/(nr. ~ cazurilor ~ posibile) .
Există (999-99=) 900 de numere de 3 cifre, sau de cazuri posibile.
Dintre acestea
- 9 numere de trei cifre au exact două cifre egale cu 0 (ultimele două);
- 8 numere au ultimele două cifre egale cu 1 şi prima diferită de 1, 9 numere au prima şi ultima cifră egală cu 1 iar cifra din mijloc diferită de 1 şi tot 9 numere au primele două cifre egale cu 1 şi ultima cifră diferită de 1, adică 26 de numere au exact două cifre egale cu 1;
...
- 8 numere au ultimele două cifre egale cu 9 şi prima diferită de 9, 9 numere au prima şi ultima cifră egală cu 9 iar cifra din mijloc diferită de 9 şi tot 9 numere au primele două cifre egale cu 9 şi ultima cifră diferită de 9, adică 26 de numere au exact două cifre egale cu 9.
Aşadar, există
9+9{cdot}26=9{cdot}(1+26)=9{cdot}27=243
numere de trei cifre care au exact două cifre egale, sau cazuri favorabile.
Prin urmare
P(A)=243/900=27/100 .

5. Să se determine a {in} {bbR} pentru care vectorii {vec{u}}=a{vec{i}}+(a+1){vec{j}} ~ şi ~ {vec{v}}=-(5a-1){vec{i}}+2{vec{j}} sunt perpendiculari.
Rezolvare: Vectorii {vec{u}} ~ şi ~ {vec{v}} sunt perpendiculari dacă şi numai dacă
$u_1u_2+v_1v_2=0{doubleleftright}$
a[-(5a-1)]+(a+1){cdot}2=0{doubleleftright}
$-5a^2+a+2a+1=0{doubleleftright}$
$-5a^2+3a+2=0{doubleleftright}$
5a^2-3a-2=0 .
Avem
${Delta}=b^2-4ac=$
$=(-3)^2-4{cdot}5{cdot}(-2)=49$
iar
$a_1=(~-b-{sqrt{Delta}})/(2a)$ ; $a_2=(~-b+{sqrt{Delta}})/(2a)$
sau
$a_1=(3-{sqrt{49}})/10$ ; $a_2=(3+{sqrt{49}})/10$
adică
a_1=(3-7)/10 ; a_2=(3+7)/10 .
Prin urmare, pentru a {in} {lbrace}-2/5;1{rbrace} vectorii {vec{u}} şi {vec{v}} sunt perpendiculari.

6. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic ABC ştiind că AB=6, ~ AC=10 şi că aria triunghiului ABC este egală cu 15{sqrt{3}} .
Rezolvare: Avem
$S_{ABC}=(bc{sin{A}})/2{doubleleftright}$
15{sqrt{3}}=(10{cdot}6{cdot}{sin{A}})/2{doubleleftright}
30{sqrt{3}}=60{sin{A}}{doubleleftright}
{sin{A}}={sqrt{3}}/2{doubleleftright}
A={pi}/3 (triunghiul ABC fiind ascuţitunghic).
Aplicând acum teorema cosinusului în triunghiul ABC, pentru unghiul A, obţinem
$a^2=b^2+c^2-2bc{cos{A}}{doubleleftright}$
$a^2=10^2+6^2-2{cdot}10{cdot}6{cdot}{cos{{pi}/3}}{doubleright}$
$a^2=136-120{cdot}(1/2){doubleleftright}$
$a^2=76{doubleleftright}$
a={sqrt{76}}=2{sqrt{19}} .
Aşadar, BC=2{sqrt{19}} .

Subiectul II
1. Se consideră matricea A=({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}}) .
a) Să se calculeze rangul matricei A.
b) Să se demonstreze că $det(A^t{cdot}A)=0$ .
c) Să se determine o matrice nenulă $B {in} M_{3,2}({bbQ})$ astfel încât AB=O_2 .
Rezolvare:
a) Întrucât minorul de ordinul 2 care se obţine din matricea A prin suprimarea ultimei coloane, adică
d={delim{|}{matrix{2}{2}{-1 2 2 2}}{|}}
este egal cu
d=(-1){cdot}2-2{cdot}2=-2-4=-6<>0 ,
rezultă că rangul matricei A este 2.
b) Avem
$A^t{cdot}A=({matrix{3}{2}{-1 2 2 2 2 -1}}){cdot}({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}})=$
=({matrix{3}{3}{(-1){cdot}(-1)+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}(-1)}})=
=({matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}) .
Fie
$d=det(A^t{cdot}A)={delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}{|}}$ .
Atunci, scoţând factor comun de pe linia a doua, avem
d=2{cdot}{delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 1 4 1 -4 2 5}}{|}} .
Adunând apoi la prima linie a ultimului determinant elementele celei de-a treia linii, obţinem:

şi întrucât determinantul rezultat are două linii egale, el este nul.
Prin urmare
$det(A^t{cdot}A)=0$ .
c) Putem alege o matrice nenulă B din $M_{3,2}({bbQ})$ cu cele două coloane identice, de forma:
B=({matrix{3}{2}{a a b b c c}})
ale cărei elemente să verifice egalităţile:
{delim{lbrace}{matrix{2}{2}{{-a+2b+2c ~ =} {0} {2a+2b-c ~ =} {0}}}{}}
(egalităţi rezultate din condiţia AB=O_2 .)
Înmulţind cu -1 prima ecuaţie şi adunând-o la a doua, obţinem:
3a-3c=0{doubleleftright}a-c=0{doubleleftright}a=c .
Înlocuind pe c cu a în prima ecuaţie de exemplu, găsim:
-a+2b+2a=0{doubleleftright}a+2b=0 .
Putem alege de pildă a=2 {in} {bbQ} , caz în care b=-1 {in} {bbQ} .
Am găsit astfel o matrice nenulă B din mulţimea $M_{3,2}({bbQ})$ pentru care are loc relaţia AB=O_2 , şi anume:
B=({matrix{3}{2}{2 2 -1 -1 2 2}}) .

2. Se ştie că (G, {circ}) este grup, unde G=(3, ~ {+infty}) şi x{circ}y=(x-3)(y-3)+3 . Se consideră funcţia f:(0; ~ {+infty}) {right} G, f(x)=x+3 .
a) Să se calculeze 4{circ}5{circ}6 .
b) Să se demonstreze că funcţia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la .
c) Să se demonstreze că dacă H este un subgrup al lui G care conţine toate numerele naturale k{>=}4 , atunci H conţine toate numerele raţionale q>3 .
Rezolvare:
a) Întrucât '{circ}' este asociativă, avem:
4{circ}5{circ}6=(4{circ}5){circ}6=
=[(4-3)(5-3)+3]{circ}6=5{circ}6=
=(5-3)(6-3)+3=9 .
b) Pentru orice y {in} G=(3; ~ {+infty}) , ecuaţia f(x)=y are soluţie unică în (0; ~ {+infty}) .
Într-adevăr,
f(x)=y{doubleleftright}x+3=y{doubleleftright}x=y-3>0 .
Prin urmare, funcţia f este bijectivă.
Funcţia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, ~ {circ}) dacă şi numai dacă
1. f este bijectivă;
2. f(x{cdot}y)=f(x){circ}f(y), {forall} x, y {in} (0; ~ {+infty}) .
Mai rămâne să dovedim relaţia de la 2.

xy+3=(x+3){circ}(y+3), {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=((x+3)-3)((y+3)-3)+3, {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=xy+3, {forall}x, y {in} {0; ~ {+infty}) , (A).
Din 1 şi 2 rezultă că f este un izomorfism de grupuri.
c) Întrucât f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, {circ}){/mat} ştim că
1. f(1)=4 este element neutru pentru legea de compoziţie '{circ}' ;
2. {forall} x {in} (0; ~ {+infty}), ~ f(1/x)=1/x+3 este inversul elementului f(x)=x+3 din G, în raport cu legea de compoziţie .
Să considerăm un număr raţional q, q>3 şi să arătăm că el aparţine subgrupului H care conţine toate numerele naturale cel puţin egale cu 4.
Întrucât q>3 , q poate fi scris sub forma
$q=m/n+3, ~ unde m, n {in} {bbN}^{*}$ .
Vom arăta că q poate fi obţinut prin compunerea a două elemente din H, de unde, H fiind un subgrup al lui G, va rezulta că q aparţine lui H.
Întrucât $m, n {in} {bbN}^{*}$ , rezultă că (m+3), (n+3) {in} H . Atunci, H fiind subgrup al lui G, şi inversul lui (n+3) în raport cu '{circ}' aparţine lui H. Dar conform afirmaţiei2, inversul lui (n+3) este (n+3)'=(1/n+3) {in} H .
Prin urmare,
(m+3), (1/n+3) {in} H {doubleright} (m+3){circ}(1/n+3) {in} H{doubleleftright}
(m+3), (1/n+3) {in} H{doubleright}((m+3)-3)((1/n+3)-3)+3=(m/n+3) {in} H ,
adică am demonstrat că q aparţine lui H.
Cum q a fost un număr raţional mai mare ca 3 arbitrar ales, rezultă că H conţine toate numerele raţionale mai mari ca 3.

Subiectul III
1. Se consideră $f:{bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} {right} {bbR}, f(x)=(2x+1)/(x^2(x+1)^2)$ .
a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f.
b) Să se demonstreze că funcţia f nu are puncte de extrem local.
c) Să se calculeze ${lim {n {right} {+infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}, unde {mat}n {in} {bbN}^{*}$ .
Rezolvare:
a) Să observăm mai întâi că pentru orice {x {in} {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} , are loc
f(x)=1/(x^2)-1/((x+1)^2) .
Calculăm
$m={lim {x {right} {-infty}}{(f(x))/x}}={lim {x {right} {-infty}}{1/x[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]}}=$
$={lim {x {right} {-infty}} {1/(x^3)-1/(x(x+1)^2)}}=0-0=0$ .
$n={lim {x {right} {-infty}}{f(x)-mx}}={lim {x {right} {-infty}}{1/(x^2)-1/((x+1)^2)}}=0-0=0$ .
Aşadar, graficul funcţiei f are ca asimptotă orizontală spre dreapta de ecuaţie y=0 .
Absolut analog se arată că graficul funcţiei f are ca asimptotă orizontală spre {+infty} dreapta de ecuaţie y=0 .
Să calculăm acum
${lim {x {right} {-1}, x<-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x<-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0-')=(-1){cdot}({-infty})={+infty}$ ;
${lim {x {right} {-1}, x>-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x>-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0+')=(-1){cdot}({+infty})={-infty}$ .
Prin urmare, dreapta de ecuaţie x=-1 este asimptotă verticală atât la stânga, spre , cât şi la dreapta, spre pentru graficul funcţiei f.
Apoi,
${lim {x {right} 0, x<0}{f(x)}}={lim {x {right} 0, x<0}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=1/('0+')={+infty}=$
={lim {x {right} 0, x>0}{f(x)}} .
Deci, dreapta de ecuaţie x=0 sau axa Ox este asimptotă verticală atât la stânga, cât şi la dreapta spre pentru graficul funcţiei f.
b) Funcţia f este derivabilă pe {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} şi în plus avem:
f'(x)=[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]'=
$=[x^{-2}-(x+1)^{-2}]'=-2x^{-3}+2(x+1)^{-3}=$
$=2[1/((x+1)^3)-1/(x^3)]=(-2(3x^2+3x+1))/(x^3(x+1)^3), {forall} x {in} {bbR}{backslash} {lbrace}-1;0{rbrace}$ .
Atunci
f'(x)=0{doubleleftright}
3x^2+3x+1=0 .
Dar
${Delta}=b^2-4ac=3^2-4{cdot}3{cdot}1=-3<0$
şi prin urmare derivata funcţiei f nu se anulează în nici un punct din mulţimea {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} .
Deci, funcţia f nu are puncte de extrem local.
c) Avem:
f(1)+f(2)+...+f(n)=
=1/(1^2)-1(2^2)+1/(2^2)-1/(3^2)+1/(3^2)-1/(4^2)+...+1/(n^2)-1/((n+1)^2)=
=1-1/((n+1)^2) .
Atunci
${lim {n {right} {infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}=$
$={lim {n {right} {infty}} {[1-1/((n+1)^2)]^{n^2}}}=$
$={lim {n {right} {infty}} {{lbrace}[1-1/((n+1)^2)]^{(n+1)^2}{rbrace}^{(n^2)/((n+1)^2)}}}=$
$=e^{{lim {n {right} {infty}} {(n^2)/((n+1)^2)}}}=e^1=e$ .

2. Se consideră şirul $(I_n)_{n {in} {bbN}^{*}}, I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}}, n {in} {bbN}^{*}$ .
a) Să se calculeze I_1 .
b) Să se arate că $I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
c) Să se calculeze ${lim {n {right} {infty}}{I_n}}$ .
Rezolvare:
a) $I_1={int {1}{2}{x/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{(x+1-1)/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{1-1/(x+1)}{dx}}=$
$=[x-{ln {x+1}}]{vbar}_{1}^{2}=$
=2-{ln {3}}-1+{ln {2}}=1+{ln {2/3}} .
b) Întrucât
$(x^n)/(x^n+1) {<=} 1, {forall} x {>=} 0$ şi ${forall}n {in} {bbN}^{*}$ ,
rezultă folosind proprietăţile integralelor definite că
${int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1{cdot}(2-1)$ ,
adică
${int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ sau $I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
c) Vom demonstra folosind teorema cleştelui că ${lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1$ .
Într-adevăr, cf. pct. b
(1) $I_nn {<=} 1, {forall}n {in} {bbN}^{*}$ .
Apoi, pentru orice x {>=} 1 şi orice $n {in} {bbN}^{*}$ rezultă aplicând inegalitatea lui Bernoulli că
$x^n=[1+(x-1)]^n {>=} 1+n(x-1){doubleleftright}$
$1/(x^n) {<=} 1/(1+n(x-1)){doubleleftright}$
$1+1/(x^n) {<=} 1+1/(1+n(x-1)){doubleleft}$
$(x^n)/(x^n+1)=1/(1+1/(x^n)) {>=} 1/(1+1/(1+n(x-1)))=(nx-n+1)/(nx-n+2)$ .
Atunci, pentru orice $n {in} {bbN}^{*}$ avem
$I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {>=} {int {1}{2}{(nx-n+1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleft}$
$I_n {>=} {int {1}{2}{(nx-n+2-1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}$
$I_n {>=} {int {1}{2}{1-1/n{cdot}n/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}$
$I_n {>=} [x-1/n {cdot} {ln {delim{vbar}{nx-n+2}{vbar}}}] {vbar}_1^2{doubleleftright}$
(2) $I_n {>=} (2-1/n{ln {n+2}}-1+1/n{ln {2}})=1-1/n{ln {(n+2)/2}}$ .
Aşadar am demonstrat cf. lui (1) şi (2) că
$1-{ln{(n+2)/2}}/n {<=} I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}$ .
Dar
{lim {n {right} {infty}}{1-{ln {(n+2)/2}/n}}=1-{lim {n {right} {infty}}{{ln {(n+2)/2}}/((n+2)/2){cdot}((n+2)/2)/n}}=1-0=1 .
(am folosit la ultima egalitate faptul că ${lim {x {right} {+infty}}{{ln {x}}/x}}=0)<br />Aplicând acum teorema cleştelui şirurilor {mat}I_n, a_n=1-{ln {(n+2)/2}}/n$ şi şirului constant 1, rezultă că
${lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1$ .

Ultima actualizare ( Miercuri, 09 Martie 2011 13:06 )