Pagina principal? Ghicitori Matematic?, M1, varianta 4, BAC 2010
 

Matematic?, M1, varianta 4, BAC 2010

Scris de Cristina Vu?can   
Miercuri, 09 Martie 2011 11:03
PDF Imprimare Email

Subiectul I
1. S? se arate c? num?rul  (1/(1-i)-1/(1+i))^2 este real.
Rezolvare: Avem
(1/(1-i)-1/(1+i))^2=[((1+i)-(1-i))/((1-i)(1+i))]^2=
=((2i)/(1^2-i^2))^2=((2i)/(1+1))^2=
=((2i)/2)^2=i^2=-1 {in} {bbR}.


2. S? se arate c? vrful parabolei y=x^2+5x+1 este situat n cadranul III.
Rezolvare: Vrful V al parabolei y=x^2+5x+1 are coordonatele
x_V=-b/(2a); ~ y_V=-{Delta}/(4a)
adic?
x_V=-5/(2{cdot}1); ~ y_V=-(b^2-4ac)/(4a)
sau
x_V=-5/2; ~ y_V=-(5^2-4{cdot}1{cdot}1)/(4{cdot}1).
Prin urmare vrful V al parabolei y=x^2+5x+1 are coordonatele
x_V=-5/2 < 0; ~ y_V=-21/4 < 0
?i deci este situat n cadranul III.


3. S? se rezolve n mul?imea numerelor reale ecua?ia 9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0.
Rezolvare: Avem
9^x-10{cdot}3^(x-1)+1=0 {doubleleftright}
(3^2)^x-10{cdot}(3^x)/3+1=0{doubleleftright}
(3^x)^2-10/3{cdot}3^x+1=0 ~ |{cdot}3{doubleleftright}
3{cdot}(3^x)^2-10{cdot}3^x+3=0.
Not?m 3^x=t iar ecua?ia de mai sus devine atunci
3t^2-10t+3=0.
Atunci
{Delta}'=(b/2)^2-ac=(-5)^2-3{cdot}3=16
iar
t_1=(~-b/2-{sqrt{Delta}})/a; t_2=(~-b/2+{sqrt{Delta}})/a
adic?
t_1=(5-{sqrt{16}})/3; t_2=(5+{sqrt{16}})/3
sau
t_1=1/3 > 0; t_2=3 > 0.
Pentru a g?si solu?iile ecua?iei date vom rezolva ecua?iile
3^x=1/3 ?i 3^x=3.
Aceste solu?ii sunt -1 ?i respectiv 1. Prin urmare, mul?imea S a solu?iilor ecua?iei date este
S={lbrace}-1;1{rbrace}.


4. S? se determine probabilitatea ca alegnd un num?r din mul?imea numerelor naturale de trei cifre acesta s? aib? exact dou? cifre egale.
Rezolvare: Not?m cu A evenimentul
A: alegnd un num?r din mul?imea numerelor naturale de trei cifre, num?rul ales are exact dou? cifre egale.
Atunci
P(A)=(nr. ~ cazurilor ~ favorabile)/(nr. ~ cazurilor ~ posibile).
Exist? (999-99=) 900 de numere de 3 cifre, sau de cazuri posibile.
Dintre acestea
- 9 numere de trei cifre au exact dou? cifre egale cu 0 (ultimele dou?);
- 8 numere au ultimele dou? cifre egale cu 1 ?i prima diferit? de 1, 9 numere au prima ?i ultima cifr? egal? cu 1 iar cifra din mijloc diferit? de 1 ?i tot 9 numere au primele dou? cifre egale cu 1 ?i ultima cifr? diferit? de 1, adic? 26 de numere au exact dou? cifre egale cu 1;
...
- 8 numere au ultimele dou? cifre egale cu 9 ?i prima diferit? de 9, 9 numere au prima ?i ultima cifr? egal? cu 9 iar cifra din mijloc diferit? de 9 ?i tot 9 numere au primele dou? cifre egale cu 9 ?i ultima cifr? diferit? de 9, adic? 26 de numere au exact dou? cifre egale cu 9.
A?adar, exist?
9+9{cdot}26=9{cdot}(1+26)=9{cdot}27=243
numere de trei cifre care au exact dou? cifre egale, sau cazuri favorabile.
Prin urmare
P(A)=243/900=27/100.


5. S? se determine a {in} {bbR} pentru care vectorii {vec{u}}=a{vec{i}}+(a+1){vec{j}} ~ ?i ~ {vec{v}}=-(5a-1){vec{i}}+2{vec{j}} sunt perpendiculari.
Rezolvare: Vectorii {vec{u}} ~ ?i ~ {vec{v}} sunt perpendiculari dac? ?i numai dac?
u_1u_2+v_1v_2=0{doubleleftright}
a[-(5a-1)]+(a+1){cdot}2=0{doubleleftright}
-5a^2+a+2a+1=0{doubleleftright}
-5a^2+3a+2=0{doubleleftright}
5a^2-3a-2=0.
Avem
{Delta}=b^2-4ac=
=(-3)^2-4{cdot}5{cdot}(-2)=49
iar
a_1=(~-b-{sqrt{Delta}})/(2a); a_2=(~-b+{sqrt{Delta}})/(2a)
sau
a_1=(3-{sqrt{49}})/10; a_2=(3+{sqrt{49}})/10
adic?
a_1=(3-7)/10; a_2=(3+7)/10.
Prin urmare, pentru a {in} {lbrace}-2/5;1{rbrace} vectorii {vec{u}} ?i {vec{v}} sunt perpendiculari.


6. S? se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascu?itunghic ABC ?tiind c? AB=6, ~ AC=10 ?i c? aria triunghiului ABC este egal? cu 15{sqrt{3}}.
Rezolvare: Avem
S_{ABC}=(bc{sin{A}})/2{doubleleftright}
15{sqrt{3}}=(10{cdot}6{cdot}{sin{A}})/2{doubleleftright}
30{sqrt{3}}=60{sin{A}}{doubleleftright}
{sin{A}}={sqrt{3}}/2{doubleleftright}
A={pi}/3 (triunghiul ABC fiind ascu?itunghic).
Aplicnd acum teorema cosinusului n triunghiul ABC, pentru unghiul A, ob?inem
a^2=b^2+c^2-2bc{cos{A}}{doubleleftright}
a^2=10^2+6^2-2{cdot}10{cdot}6{cdot}{cos{{pi}/3}}{doubleright}
a^2=136-120{cdot}(1/2){doubleleftright}
a^2=76{doubleleftright}
a={sqrt{76}}=2{sqrt{19}}.
A?adar, BC=2{sqrt{19}}.

 

Subiectul II
1. Se consider? matricea A=({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}}).
a) S? se calculeze rangul matricei A.
b) S? se demonstreze c? det(A^t{cdot}A)=0.
c) S? se determine o matrice nenul? B {in} M_{3,2}({bbQ}) astfel nct AB=O_2.
Rezolvare:
a) ntruct minorul de ordinul 2 care se ob?ine din matricea A prin suprimarea ultimei coloane, adic?
d={delim{|}{matrix{2}{2}{-1 2 2 2}}{|}}
este egal cu
d=(-1){cdot}2-2{cdot}2=-2-4=-6<>0,
rezult? c? rangul matricei A este 2.
b) Avem
A^t{cdot}A=({matrix{3}{2}{-1 2 2 2 2 -1}}){cdot}({matrix{2}{3}{-1 2 2 2 2 -1}})=
=({matrix{3}{3}{(-1){cdot}(-1)+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}2 (-1){cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}2 2{cdot}2+2{cdot}(-1) 2{cdot}(-1)+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}2 2{cdot}2+(-1){cdot}(-1)}})=
=({matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}).
Fie
d=det(A^t{cdot}A)={delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 2 8 2 -4 2 5}}{|}}.
Atunci, sco?nd factor comun de pe linia a doua, avem
d=2{cdot}{delim{|}{matrix{3}{3}{5 2 -4 1 4 1 -4 2 5}}{|}}.
Adunnd apoi la prima linie a ultimului determinant elementele celei de-a treia linii, ob?inem:
d=2{cdot}{delim{|}{matrix{3}{3}{1 4 1 1 4 1 -4 2 5}}{|}}
?i ntruct determinantul rezultat are dou? linii egale, el este nul.
Prin urmare
det(A^t{cdot}A)=0.
c) Putem alege o matrice nenul? B din M_{3,2}({bbQ}) cu cele dou? coloane identice, de forma:
B=({matrix{3}{2}{a a b b c c}})
ale c?rei elemente s? verifice egalit??ile:
{delim{lbrace}{matrix{2}{2}{{-a+2b+2c ~ =} {0} {2a+2b-c ~ =} {0}}}{}}
(egalit??i rezultate din condi?ia AB=O_2.)
nmul?ind cu -1 prima ecua?ie ?i adunnd-o la a doua, ob?inem:
3a-3c=0{doubleleftright}a-c=0{doubleleftright}a=c.
nlocuind pe c cu a n prima ecua?ie de exemplu, g?sim:
-a+2b+2a=0{doubleleftright}a+2b=0.
Putem alege de pild? a=2 {in} {bbQ}, caz n care b=-1 {in} {bbQ}.
Am g?sit astfel o matrice nenul? B din mul?imea M_{3,2}({bbQ}) pentru care are loc rela?ia AB=O_2, ?i anume:
B=({matrix{3}{2}{2 2 -1 -1 2 2}}).


2. Se ?tie c? (G, {circ}) este grup, unde G=(3, ~ {+infty}) ?i x{circ}y=(x-3)(y-3)+3. Se consider? func?ia f:(0; ~ {+infty}) {right} G, f(x)=x+3.
a) S? se calculeze 4{circ}5{circ}6.
b) S? se demonstreze c? func?ia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, {circ}).
c) S? se demonstreze c? dac? H este un subgrup al lui G care con?ine toate numerele naturale k{>=}4, atunci H con?ine toate numerele ra?ionale q>3.
Rezolvare:
a) ntruct '{circ}' este asociativ?, avem:
4{circ}5{circ}6=(4{circ}5){circ}6=
=[(4-3)(5-3)+3]{circ}6=5{circ}6=
=(5-3)(6-3)+3=9.
b) Pentru orice y {in} G=(3; ~ {+infty}), ecua?ia f(x)=y are solu?ie unic? n (0; ~ {+infty}).
ntr-adev?r,
f(x)=y{doubleleftright}x+3=y{doubleleftright}x=y-3>0.
Prin urmare, func?ia f este bijectiv?.
Func?ia f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, ~ {circ}) dac? ?i numai dac?
1. f este bijectiv?;
2. f(x{cdot}y)=f(x){circ}f(y), {forall} x, y {in} (0; ~ {+infty}).
Mai r?mne s? dovedim rela?ia de la 2.
f(x{cdot}y)=f(x){circ}f(y), {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=(x+3){circ}(y+3), {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=((x+3)-3)((y+3)-3)+3, {forall}x, y {in} (0; ~ {+infty}){doubleleftright}
xy+3=xy+3, {forall}x, y {in} {0; ~ {+infty}), (A).
Din 1 ?i 2 rezult? c? f este un izomorfism de grupuri.
c) ntruct f este un izomorfism de grupuri de la ((0; ~ {+infty}), {cdot}) la (G, {circ}){/mat} ?tim c?
1. f(1)=4 este element neutru pentru legea de compozi?ie '{circ}';
2. {forall} x {in} (0; ~ {+infty}), ~ f(1/x)=1/x+3 este inversul elementului f(x)=x+3 din G, n raport cu legea de compozi?ie '{circ}'.
S? consider?m un num?r ra?ional q, q>3 ?i s? ar?t?m c? el apar?ine subgrupului H care con?ine toate numerele naturale cel pu?in egale cu 4.
ntruct q>3, q poate fi scris sub forma
q=m/n+3, ~ unde m, n {in} {bbN}^{*}.
Vom ar?ta c? q poate fi ob?inut prin compunerea a dou? elemente din H, de unde, H fiind un subgrup al lui G, va rezulta c? q apar?ine lui H.
ntruct m, n {in} {bbN}^{*}, rezult? c? (m+3), (n+3) {in} H. Atunci, H fiind subgrup al lui G, ?i inversul lui (n+3) n raport cu '{circ}' apar?ine lui H. Dar conform afirma?iei2, inversul lui (n+3) este (n+3)'=(1/n+3) {in} H.
Prin urmare,
(m+3), (1/n+3) {in} H {doubleright} (m+3){circ}(1/n+3) {in} H{doubleleftright}
(m+3), (1/n+3) {in} H{doubleright}((m+3)-3)((1/n+3)-3)+3=(m/n+3) {in} H,
adic? am demonstrat c? q apar?ine lui H.
Cum q a fost un num?r ra?ional mai mare ca 3 arbitrar ales, rezult? c? H con?ine toate numerele ra?ionale mai mari ca 3.

 

Subiectul III
1. Se consider? f:{bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace} {right} {bbR}, f(x)=(2x+1)/(x^2(x+1)^2).
a) S? se determine asimptotele graficului func?iei f.
b) S? se demonstreze c? func?ia f nu are puncte de extrem local.
c) S? se calculeze {lim {n {right} {+infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}, unde {mat}n {in} {bbN}^{*}.
Rezolvare:
a) S? observ?m mai nti c? pentru orice {x {in} {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace}, are loc
f(x)=1/(x^2)-1/((x+1)^2).
Calcul?m
m={lim {x {right} {-infty}}{(f(x))/x}}={lim {x {right} {-infty}}{1/x[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]}}=
={lim {x {right} {-infty}} {1/(x^3)-1/(x(x+1)^2)}}=0-0=0.
n={lim {x {right} {-infty}}{f(x)-mx}}={lim {x {right} {-infty}}{1/(x^2)-1/((x+1)^2)}}=0-0=0.
A?adar, graficul func?iei f are ca asimptot? orizontal? spre {-infty} dreapta de ecua?ie y=0.
Absolut analog se arat? c? graficul func?iei f are ca asimptot? orizontal? spre {+infty} dreapta de ecua?ie y=0.
S? calcul?m acum
{lim {x {right} {-1}, x<-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x<-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0-')=(-1){cdot}({-infty})={+infty};
{lim {x {right} {-1}, x>-1}{f(x)}}={lim {x {right} {-1}, x>-1}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=(-1)/(1{cdot}'0+')=(-1){cdot}({+infty})={-infty}.
Prin urmare, dreapta de ecua?ie x=-1 este asimptot? vertical? att la stnga, spre {+infty}, ct ?i la dreapta, spre {-infty} pentru graficul func?iei f.
Apoi,
{lim {x {right} 0, x<0}{f(x)}}={lim {x {right} 0, x<0}{(2x+1)/(x^2(x+1)^2)}}=1/('0+')={+infty}=
={lim {x {right} 0, x>0}{f(x)}}.
Deci, dreapta de ecua?ie x=0 sau axa Ox este asimptot? vertical? att la stnga, ct ?i la dreapta spre {+infty} pentru graficul func?iei f.
b) Func?ia f este derivabil? pe {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace}?i n plus avem:
f'(x)=[1/(x^2)-1/((x+1)^2)]'=
=[x^{-2}-(x+1)^{-2}]'=-2x^{-3}+2(x+1)^{-3}=
=2[1/((x+1)^3)-1/(x^3)]=(-2(3x^2+3x+1))/(x^3(x+1)^3), {forall} x {in} {bbR}{backslash} {lbrace}-1;0{rbrace}.
Atunci
f'(x)=0{doubleleftright}
3x^2+3x+1=0.
Dar
{Delta}=b^2-4ac=3^2-4{cdot}3{cdot}1=-3<0
?i prin urmare derivata func?iei f nu se anuleaz? n nici un punct din mul?imea {bbR}{backslash}{lbrace}-1;0{rbrace}.
Deci, func?ia f nu are puncte de extrem local.
c) Avem:
f(1)+f(2)+...+f(n)=
=1/(1^2)-1(2^2)+1/(2^2)-1/(3^2)+1/(3^2)-1/(4^2)+...+1/(n^2)-1/((n+1)^2)=
=1-1/((n+1)^2).
Atunci
{lim {n {right} {infty}}{(f(1)+f(2)+...+f(n))^{n^2}}}=
={lim {n {right} {infty}} {[1-1/((n+1)^2)]^{n^2}}}=
={lim {n {right} {infty}} {{lbrace}[1-1/((n+1)^2)]^{(n+1)^2}{rbrace}^{(n^2)/((n+1)^2)}}}=
=e^{{lim {n {right} {infty}} {(n^2)/((n+1)^2)}}}=e^1=e.


2. Se consider? ?irul (I_n)_{n {in} {bbN}^{*}}, I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}}, n {in} {bbN}^{*}.
a) S? se calculeze I_1.
b) S? se arate c? I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}.
c) S? se calculeze {lim {n {right} {infty}}{I_n}}.
Rezolvare:
a) I_1={int {1}{2}{x/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{(x+1-1)/(x+1)}{dx}}={int {1}{2}{1-1/(x+1)}{dx}}=
=[x-{ln {x+1}}]{vbar}_{1}^{2}=
=2-{ln {3}}-1+{ln {2}}=1+{ln {2/3}}.
b) ntruct
(x^n)/(x^n+1) {<=} 1, {forall} x {>=} 0 ?i {forall}n {in} {bbN}^{*},
rezult? folosind propriet??ile integralelor definite c?
{int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1{cdot}(2-1),
adic?
{int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*} sau I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}.
c) Vom demonstra folosind teorema cle?telui c? {lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1.
ntr-adev?r, cf. pct. b
(1) I_nn {<=} 1, {forall}n {in} {bbN}^{*}.
Apoi, pentru orice x {>=} 1 ?i orice n {in} {bbN}^{*} rezult? aplicnd inegalitatea lui Bernoulli c?
x^n=[1+(x-1)]^n {>=} 1+n(x-1){doubleleftright}
1/(x^n) {<=} 1/(1+n(x-1)){doubleleftright}
1+1/(x^n) {<=} 1+1/(1+n(x-1)){doubleleft}
(x^n)/(x^n+1)=1/(1+1/(x^n)) {>=} 1/(1+1/(1+n(x-1)))=(nx-n+1)/(nx-n+2).
Atunci, pentru orice n {in} {bbN}^{*} avem
I_n={int {1}{2}{(x^n)/(x^n+1)}{dx}} {>=} {int {1}{2}{(nx-n+1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleft}
I_n {>=} {int {1}{2}{(nx-n+2-1)/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}
I_n {>=} {int {1}{2}{1-1/n{cdot}n/(nx-n+2)}{dx}}{doubleleftright}
I_n {>=} [x-1/n {cdot} {ln {delim{vbar}{nx-n+2}{vbar}}}] {vbar}_1^2{doubleleftright}
(2) I_n {>=} (2-1/n{ln {n+2}}-1+1/n{ln {2}})=1-1/n{ln {(n+2)/2}}.
A?adar am demonstrat cf. lui (1) ?i (2) c?
1-{ln{(n+2)/2}}/n {<=} I_n {<=} 1, {forall} n {in} {bbN}^{*}.
Dar
{lim {n {right} {infty}}{1-{ln {(n+2)/2}/n}}=1-{lim {n {right} {infty}}{{ln {(n+2)/2}}/((n+2)/2){cdot}((n+2)/2)/n}}=1-0=1.
(am folosit la ultima egalitate faptul c? {lim {x {right} {+infty}}{{ln {x}}/x}}=0)<br />Aplicând acum teorema cle?telui ?irurilor {mat}I_n, a_n=1-{ln {(n+2)/2}}/n ?i ?irului constant 1, rezult? c?
{lim {n {right} {infty}}{I_n}}=1.

Ultima actualizare ( Miercuri, 09 Martie 2011 13:06 )