Pagina principal? Geometrie plan? 16. Cazurile de congruen?? a triunghiurilor
 

16. Cazurile de congruen?? a triunghiurilor

Scris de Cristina Vu?can   
Miercuri, 05 Iunie 2013 16:16
PDF Imprimare Email

Defini?ie. Fie ABC ?i DEF dou? triunghiuri oarecare. Spunem c? triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF dac? ?i numai dac? au loc n acela?i timp urm?toarele 6 congruen?e:
1) delim{[}{AB}{]} Xi delim{[}{DE}{]};
2) delim{[}{BC}{]} Xi delim{[}{EF}{]};
3) delim{[}{CA}{]} Xi delim{[}{FD}{]};
4) hat{A} Xi hat{D};
5) hat{B} Xi hat{E};
6) hat{C} Xi hat{F}.
Nota?ie. Delta ABC Xi Delta DEF.

Pentru a scrie cele 6 congruen?e se ?ine seama c?:
1) Laturile ?i unghiurile celor dou? triunghiuri se corespund n ordinea dat? (scris?) de congruen?a celor dou? triunghiuri. Ele se mai numesc ?i elemente (laturi sau unghiuri) omoloage.
2) Laturile ?i unghiurile celor dou? triunghiuri congruente, care se corespund (omoloage), sunt congruente.

De exemplu, n cazul triunghiurilor congruente MNP ?i QRS, laturile care se corespund, ?i deci sunt congruente, sunt:
1) delim{[}{MN}{]} Xi delim{[}{QR}{]};
2) delim{[}{NP}{]} Xi delim{[}{RS}{]};
3) delim{[}{PM}{]} Xi delim{[}{SQ}{]};
iar unghiurile omoloage, ?i care sunt deci congruente, sunt:
4) hat{M} Xi hat{Q};
5) hat{N} Xi hat{R};
6) hat{P} Xi hat{S}.


Experien?a c?tigat? prin rezolvarea problemelor privind construirea de triunghiuri ne arat? c? urm?toarele afirma?ii, numite cazurile de congruen?? a triunghiurilor oarecare, sunt adev?rate:

Cazurile de congruen?? a triunghiurilor oarecare

Cazul 1. (Latur?-Unghi-Latur?, L.U.L.)
Dou? triunghiuri oarecare care au cte dou? laturi ?i unghiul cuprins ntre ele respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 2. (Unghi-Latur?-Unghi, U.L.U.)
Dou? triunghiuri oarecare care au cte o latur? ?i unghiurile al?turate ei respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 3. (Latur?-Latur?-Latur?, L.L.L.)
Dou? triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente.


Observa?ii:
1) Dup? ce am stabilit c? dou? triunghiuri oarecare sunt congruente (conform unuia dintre cazurile de congruen??), putem descoperi restul elementelor care sunt respectiv congruente, ?innd seama ?i de faptul c?: la laturi congruente se opun unghiuri respectiv congruente ?i, invers, la unghiuri congruente se opun laturi respectiv congruente.
2) ntr-un triunghi avem de considerat 6 elemente principale, ?i anume: cele 3 unghiuri ?i cele 3 laturi. Este suficient s? constat?m, n dou? triunghiuri oarecare, congruen?a a 3 dintre aceste elemente, alese n mod convenabil, dintre care cel pu?in un element s? fie latur?, pentru a putea afirma congruen?a celor dou? triunghiuri oarecare ?i, n particular, congruen?a celorlalte 3 elemente.
3) Cazurile de congruen?? a triunghiurilor oarecare asigur? alegerea convenabil?" din dou? triunghiuri a 3 dintre elementele principale. Oricare alt? alegere din dou? triunghiuri a 3 elemente congruente, sau a unui num?r mai mic de 3 elemente congruente, nu asigur? congruen?a celor dou? triunghiuri ?i, ca urmare, nici congruen?a celorlalte elemente.


Cazurile de congruen?? a triunghiurilor dreptunghice

Cazul 1. (Catet?-Catet?, C.C.)
Dou? triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 2. (Catet?-Unghi, C.U.)
Dou? triunghiuri dreptunghice care au cte o catet? ?i unghiul ascu?it al?turat acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Dou? triunghiuri dreptunghice care au cte o catet? ?i unghiul ascu?it opus acesteia respectiv congruente sunt congruente.

Cazul 3. (Ipotenuz?-Unghi, I.U.)
Dou? triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele congruente ?i cte unul din unghiurile ascu?ite congruente, sunt congruente.

Cazul 4. (Ipotenuz?-Catet?, I.C.)
Dou? triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele ?i cte o catet? respectiv congruente sunt congruente.